平面向量基本定理系数等值线.pdf

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1、数学通讯一2013年第l期(下半月) 专论荟萃 平面向量基本定理系数等值线 潘成银 (江苏省南京民办实验学校，210019) 平面向量基本定理：如果e ，e 是同一平面内 的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 l， 2，使a= l I+ 22e2，我们称A1， 2为平面向量基本定理系数 1三点共线定理 定理1 平面内一组基底 ，魂及任一向量 一 ， 一oPOP OP= 1一OA+ 2一OB( 1， 2为实数)，则A， ， = 1 + ， ( 1， 2为实数)，贝0 ， P，B三点共线的充要条件是 1+ 2=1，如图1设 线段AB中点为C，由平面向量加法平行四边

2、形法 则可知 当P在点c时， = 2=丢； 当P在点A时， 1：1， =0； 当P在点B时， 1=0， =1； 图 1 当P在线段AC上(除端点)时，01； 当P在线段BA延长线上时， 11， 20 借助上面的结论，我们可以对平面向量基本定 理系数的性质作进一步研究 2等和线 如图2，平面内一组基底 蔬，茄，作直线lAB，直线 OA，OB分别与z交于A1，B1， 设 =k (kR)，则 = ，若P为 上任意 图2 一点，OP=OA1+AlP：OA1+t AlB1：OAl+t ( 一 )=(1一 )k +tk (t为实数)，设 1：(1一t)k， 2=tk，则 1十 2=是，显然k只与 和直线A

3、B相对位置有关，而与P在l上的位置无 关，所以，对于直线l上任意一点P，以 ， 为基 底的向 的平面向量基本定理的系数和为定值 反之，对于任意两个向量 ，一OP2， = 1 OA+22 OB，OPz= 3 OA+24 OB(A1， 2，A3， 4为实数)，若 1十 2= 3+ 4，移项得 3一A1= 点处的切线平行于这些弦(2)椭圆焦点弦两端点 处的两条切线相交在准线上(3)设椭圆的中心为 C，如果CP平分平行于CD的弦，那么CD也平分 平行于cP的弦(4)若椭圆在其点P处的切线交长 轴延长线于T，PN垂直于长轴，垂足为N，C是中 心，A是长轴的一个端点，则CNCT=CA 1 J 等等 3结语

4、 今天，变换的基本观点与基本思想为中学数学 教学，特别是解析几何的教学提供了十分有益的指 导显然，平面上的变换就是到自身的一个对应或 者说，“变换无非是简单的函数概念的推广”l2 J本 文表明，在高中数学内容中引入变换的观点是非常 必要的变换观点与变换思想的引入是对高中数形 结合思想的进一步提升，也使高中阶段用代数方法 研究几何问题达到了一个更高的层次特别地，对于 解析几何的问题解决来说，一切都变得简单而又 自然 参考文献： 1英A科克肖特，FB沃尔特斯著，蒋声译圆锥曲线 的几何性质M上海：上海教育出版社，2002 2 德F克莱因著，舒湘芹等译高观点下的初等数学 (第二册)M上海：复旦大学出版

5、社，2007 (收稿日期：20 L2一l023) 专论荟萃 数学通讯一2013年第1期(下半月) 41 一(14一 2)，所以P1P 2=c 一OP 1=( 3一 1) 一(412OA 4-1 )一OB=( 3一 一oA一蔬)=( 3一 (4 ) =( 3一A1)( 一CIB)=( 3一 ) ，从而 压于是有： 定理2 平面内一组基底 ，丽及任一向量 一 ， oF=11一+2一( 1， 2为实数)，若点POP OP 1 OA 1 OB ， =1 +2 ( 1， 2为实数)，若点 在直线AB上或在平行于AB的直线上，则11+12 =忌(定值)，反之也成立我们把直线AB以及与 AB平行的直线叫平面

6、向量基本定理系数的等和 线，如图3根据证明过程可知： (1)当等和线即为直线AB 时，是：1； 、 (2)当等和线在点0与直 线AB之间时，志(0，1)； (3)当直线AB在点O与等 和线之间时，愚(1，+oo)； 图。 且以上定值的变化与等和线到点O的距离成 正比 (4)当等和线过点。时，是=0； 由相反向量概念可知： (5)若两等和线关于O点对称，则相应的定值 互为相反数 3等差线 如图4，平面内一组基底 ，面，C为线段AB的中 点， =丢( + )，设P 为直线OC上任意一点，,j-oY ： OC：w 一OA+安 ，此时 图4 11= 2= ， 1一 2=0 作直线OC，直线OA与 交于

7、点M，直线 AB与 交点为N，显然oAcM_AN， = 忌 ，则 =(1+忌) ，蔺= =告( + )，若P为直线z上任意一点，则 = + 。 一 ：(1+忌)一+ 一：(1MP 1 OA NM 1+ )一OA+ OC= =(+忌) + =( + ) + = (1十尼+耳kt + kt- -( 为实数) ，此时 l=1+忌 +百Jet， 2= let， l 2=1+ ，由于忌只与 和OC 相对位置有关，而与P在z上的位置无关，所以对于 直线z上任意一点P，以 ， 基底的向量 的 平面向量基本定理的系数差为定值 反之，对于任意两个向量 ， ， = +-+ l OA+12 01)，OP2=,t3

8、0,4+14 OB( 1， 2， 3， 4为实数)，若 l 2： 3一 4，移项得 3一 l= 4一 2，所以 =一OP2一一OP1=(13一 1) + ( 4一 2)-O-=( 3一 1)( 4-o-)=2(i3一；L1) ，从而 #-0-于是有： 定理3 平面内一组基底 ， 及任一向量 一 ， 一OP= 】一+ 2一( 】， 2为实数)，COi“ OA OB 为线 ， = 1 + 2 ( 1， 2为实数)， 为线 段AB中点，若点P在直线OC上或在平行于OC 的直线上，则 1一 2=le(定值)，反之也成立我们 把直线OC以及与OC平行的直线叫平面向量基本 定理系数的等差线，如图5根据证明

9、过程和定理1 可知： (1)当等差线过AB中点c 时，le=0； (2)当等差线过点A时， le=1； (3)当等差线在直线OC与 图5 点A之间时，忌(0，1)； (4)当等差线与BA延长线相交时，le(1， +oo)； 由相反向量概念和平面几何知识易证： (5)若两等差线关于OC对称，则相应的定值 互为相反数 4等商线 如图6，平面内一组基底 ， 一OB，设直线 是过点0不与OA， OB重合的任意直线，设P1，P是 直线z上不同于0的任意两点，则 存在实数 ，使得 ：t ，若 图6 一OPOP=【1一OA+ 2一OB( 1， 2为实数)，则 =t =【1 + 2 ( 1， 2为买数)，则O

10、尸1= ( 1 + 2苟)=ta1一OA+t2t2一OB，所以 = ( OA+ 2 0B)= 1 + ，所以 ，所以对于是直线z上任意点P(非点0)，以 A2 ，亩基底的向量 的平面向量基本定理的系数 的比值为定值 42 数学通讯一2013年第1期(下半月) 专论荟萃 反之，对于任意两个向量 ，一OP2， = l + OA+X2 OB，OP2=X3 OA+ 4 OB( 1， 2， 3， 4 为实数且非零)，若笔 a_ 343，则鲁 笔，设鲁 X2A = ， d 1 1 k，所以 =-o-G一 =( 3一 1) +(|=【4 9,2) 菹=(kal 1) +(ka2一 2) =(尼一1) ( 1

11、。oA+ 2一OB)=( 一1)一OP1， PP2一OP1，即 ( 1 + 2 )=( 一1) ， 1 ，即 0，P1，P2三点共线于是有： 定理4 平面内一组基底 ，魂及任一非零 向量 ，一OP= 1一OA+ 2一OB( 1， 2为实数)，若 向量OP， = 】 + 2 ( 1， 2为实数)，看 点P在过点o(Tg-OA重合)的直线f上，则 = 9 k(定值)，反之也成立我们把过点0的直线(除 OA及不含点O)叫平面向量基本定理系数的等商 线如图7根据证明过程和定理1可得： (1)当等商线过AB中点 C时，k=1； (2)当等商线与线段AC (除端点)相交时， k(1，+O0)； (3)当等

12、商线与线段BC (除端点)相交时，k(0，1)； 图 7 (4)当等商线即为OB时，k=0； (5)当等商线与BA延长线相交时，k(一O0， 一1)； (6)当等商线与AB延长线相交时，忌(一1， 0)； (7)当等商线与直线AB平行时，k=一1 5等积线 平面内一组基底 ， ，以0为原点， AOB平分线所在直线为z轴，建立直角坐标系， 如图8，设 =(盘，b)， =(c，d)，若点A关于z 轴对称点为B1，则 =(口，一6)，且魂= 一081 ( 为正实数)，设P( ， )是直线OA，OB外任意 一点，根据平面向量基本定理，存在非零实数 l， 2，使得 = 1 +：【2= l OA+aa2

13、OBI1P“ + 一 = l(a，b)十A 2(a，一b)=( 1倪+222a， 1b 6) z -n+ zn，整理得j詈+ =2 1两 一【 l 从2 【詈一 =2 ， 式相乘得 a 一 4 ( z)， 。 D。 设双曲线C： 一 = 4 ( 1 2)，它的渐近线为Y =旦 ，即为直线OA， OB，若当|：【1 2为定值，点P 在以OA，OB为渐近线的 双曲线上；反之，若P在以 OA，OB为渐近线的某双曲 ， l 一 图 8 线上，则 一 h2的值为非零常数，所以4 (A1 2)为 常数，即 1 2为定值。于是有： 定理5 平面内一组基底 ， 及任一向量 OP ， 一OP= 1一OA+ 2一

14、OB ，若 1 2为定值，则点P ， = 1 + 2 ，若 1 ，为定值，则点 在以直线OA，OB为渐近线的某条双曲线上；反之， 点P在以直线OA，OB为渐近线的某条双曲线上， 则 1 2为定值我们把以直线OA，OB为渐近线 的双曲线叫平面向量基本定理系数的等积线，根据 证明过程可知以下结论： (1)当双曲线有一支在 AOB内时， 1 2为 正值； (2)当双曲线都不在 AOB内时， 1 2负值； (3)特别地， =(口，b)， 商=(口，一b)，点P 在双曲线 一 =1上时， 2= 口 D 一 斗 应用平面向量基本定理系数等值线，可以直观、 简捷、快速解决一些问题： 例1 (2009年安 徽

15、理科试题)给定两个 B 长度为1的平面向量0 和 ，它们的夹角为 120。，如图9，点C在以 0为圆心的圆 上运 动，若 =z + 图9 蕊，其中z，yER，则z+ 的最大值是 解析连接AB，过C作直线AB，则直线f 为以 ，面为基底的平面向量基本定理系数的等 和线，显然当与圆弧相切于Cl时，定值最大，因为 ZAOB=120。，所以 = + ，即 = ：1， 专论荟萃 数学通讯一2013年第1期(下半月) 43 所以z+Y的最大值为2 说明原解是利用向量坐标表示，借助向量数 量积及三角函数知识求解，是典型的向量问题代数 化，应用平面向量定理系数的等和线解决，尤显直 观、简捷、快速! 例2 如图

16、10所示，A，B，C是圆O上的三 点，C0的延长线与线段BA的延长线交于圆0外 的点D， = 十 菌，则 + 的取值范 围是 解析作 ，蔬的相反向 ， ，如图 11，则ABA131，过O作直线zAB，则直线 ， A1B1为以 ，商为基底的平面向量基本定理系 数的等和线，且定值分别为0，一1，由题意CO的延 长线与线段3A的延长线交于圆0外的点D，所以 C在直线z与直线A1Bl之间，即过C点的等和线 在直线 与直线A1B1之间，所以7Yt+ (一1，0) 例3 (2010上海高考文科试题)在平面直角 坐标系中，双曲线C的中心在原点，它的一个焦点 坐标为(5，0)，e1=(2，1)，e2=(2，一

17、1)分别是两条 渐近线的方向向量任取双曲线c上的点P，若 oP =ae1+be2(口，bR)，则a，b满足的一个等式是 解因为e1=(2，1)，e2=(2，一1)是渐进线的 方向向量，所以双曲线渐近线方程为Y： z，又 厶 它的一个焦点坐标为(5，0)， =5，双曲线c的方 程磋一 1，ab= 1 (收稿日期：20120902) 一个不等式猜想的简证及推广 戴志祥 (浙江省绍兴市高级中学，312000) 1引言 文1的最后提出了四个不等式猜想，文2中 用构造函数再结合导数的方法给出了猜想1的肯定 性证明与推广本文应用柯西不等式与均值不等式 给出猜想1的简证，并在此基础上给出猜想1的进 一步推广 猜想1 若a，b，C都是正实数，且满足abc= 1，则 + + 1 2猜想1的证明 证明由柯西不等式得， (2+n+2+6+2训 a2+ b2+ C2) (口+b+C) ， 盘 2 b2 C 。2+n2+b。2+。 一(垒 j 二 鱼 鱼 =口+b+c-6+ 59