圆锥曲线的三个“不动点”性质.pdf

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1、2013年第6期 中学数学研究 29 b。 线AA 的方程为y一6sin = ( 一口c。s )，即 2 + 一s =0 比较、两式，可得直线 必过定点( ， k一1 、 一k+lyo 由于上述过程的可逆性又得 lff“7 椭圆 +告=l(a6o)上任意一 a O 点P(xo，Yo)与椭圆上两点A，A 的连线斜率存在，若直 线A4 过定点(争 ，一 _ )，则斜率之积为定值 一 j其逆命题也成立(证明略) 由此，我们不难得到有心圆锥曲线的另一个性质 性质2 有心圆锥曲线 + =1(AB0)上 任意一点p(x。，Yo)与曲线上两点A，A (异于P)的连线 斜率存在，则斜率之积为定值一争的充分必要

2、条件是 直线AA ,后k + - 1 。，一争_ )(证明略) 参考文献 1张可应对课本习题的一般化探究数学通讯，2309(3) 圆锥曲线的三个“不动点性质 江西省宁都中学(342300) 陈阳生 本文介绍笔者新总结的圆锥曲线的三个优美的 “不动点”性质 性质1 过定点P任作两条互相垂直的直线AB， CD，分别与圆锥曲线F交于点A，B；C，D，线段AB，CD 的中点分别为E、F，则直线EF必过一定点 证明：以P为原点，平行于F的一条对称轴为 轴 建立直角坐标系，则F的方程可设为 +c)，2+dx+ey +厂=0(1) 又设A，B，C，D，E，F的坐标分别为(气，Yi)，i=1， 2，6把A，B

3、的坐标代入方程(1)，再相减得a(x + 2)( l一 )+c(yl+)，2)(，ly2)+a(x1一 )+e(yl 一)，2)=o 上式两边除以 l一 2得2ax5+2cyskan+d+e =0，即(2cy5 4-e)j仰=一(2ax5+d)(2) 又x,6kcn=)，6(3)(2)，(3)两式相乘得(注意到 cD=一1)，2cx6Y5+ 6=2ax5)，6+dy6(4)，同理， 2cx5Y6+ 5=2ax6Y5+ (5)，(4)，(5)两式相减得， 2(a+c)( y6一 )=e(x5一 6)一d()，5一 ) 1l e ， 、 口 故 sY6一 6Y5 丽( 5一 )一丽(y5 )一 (

4、 一)，6)(6) 6y5(7)，将(6)代入(7)得(儿一y6)( + )一 ( s一 6)()，+ )=o(8)，由(8)可知，直线 过定点( ， ) 评注：1当n+c=0，即为等轴双曲线时，由(6) 知，直线 有定向，可认为直线 F过无穷远点2当 定点在圆锥曲线上时，从性质1可得到文1的结果 性质2 过定点P任作圆锥曲线，的一条弦AB， 以弦AB为直径的圆交F于点C，D，则直线CD必过一 定点 证明：以P为原点，平行于F的一条对称轴为 轴 建立直角坐标系，则F的方程可设为 +c)，2+ +ey +厂=0(1)设A， 的坐标分别为( ，儿)，i=1，2，则以 弦A 为直径的圆的方程为 +)

5、，2一( 。+ ) 一(Y +5“2)Y+ 1 +Y1Y2=0(2) 设直线AB的方程为Y= ，代入(1)得(口+ 出 ) +(d+ek)x+厂=0，由韦达定理得 。+ 2= d+e 厂 d+e 一 ， 2 ，故，l+Y2一 k,y1Y2 直线 的方程为(Y5一Y6) _( -X6)Y=xsy一 一 + k_代入(2)得(口+c )( 2+y 2)+(d+e|j) 3O 中学数学研究 2013年第6期 +(d+ek)ky+ 1 4-Ii )=0 过A，B，C，D四点的曲线系的方程为(口+ck )( + )+(d+ek)x+(d+e ) + 1+ )+A(似 + + + + =O(3) 方程(3

6、)包含AB，CD二直线，由于AB的方程为Y = ，因此易知当A=一(1+i )时，方程(3)是直线 AB，CD的方程，此时方程(3)为 (ca)x +(el,一c) +(edk)kx+(dke)y=0，即( 一Y)( (ca)x +(ca)y+(edk)=0 由此可知直线CD的方程为k(ca)x+(ca)y +(eelk)：0，即J(ca)xd)+(ca)y+e= 0(4)由(4)可知直线CD过定点( ，_二旦) U Cc正 性质3 AB为圆锥曲线 的一条定弦，CD为一条 动弦，连结AC，BD交于 则直线CD过直线AB上的定 点N的充分必要条件是点M在一条定直线f上，z过由 A， 所作曲线的切

7、线的交点 证明：以A为原点，AB为 轴建立直角坐标系，可 设 的方程为 +bxy+c)，2+ +ey=o则A，B的 坐标分别为(0,0)，(一d,O)，又设 的坐标为(，Yo)， 则直线AC，BD的方程分别为yoxxoy=O，yox一( + d)y+：rod=o过A，B，C，D四点的曲线系的方程为(yox Xoy)(yox一( 一0+d)y+yod)+A( +bxy+c，z + +ey)=0(1) 方程(1)包含AB，CD二直线，由于AB的方程为Y =0，因此易知当A=一 时，方程(1)是直线他，CD的 方程由此立得直线CD的方程为( +2x0+d)yoX+ (cy02一 一d)y+(eyo+

8、dxo)，0=0(2) ： 令Y=0，求得直线CD与AB的交点N的横坐标为 0+eyo， Lj 由A，B所作曲线的切线的方程分别为 +ey=0， +(bde)y+d2=0，过这两条切线的交点的定直线 2的方程可设为 +(bde)y+d2-(dx+ey)=O( 为定值)(4) 若点 在直线z上，则( ，Yo)满足(4)，有 0+ (bdP) +d2一 ( o+eyo)=0(5) 由此 等 = (6) 由(3)，(6)知cD过直线A曰上的定点J)v( ，o) 1十 反之，如果直线CD过直线AB上的定点，可设其坐 标为( “_，0)，(肛为定值)，则(6)成立，从而(5)成 立，故点M在由方程(4)

9、确定的定直线Z上，且z过由A， 所作曲线 的切线的交点 评注：1在上面的证明中，若 ：一1，则由(5)，(2) 可知CD平行于AB，此时可认为直线CD过AB上的无 穷远点；2性质3的证明同样适用于由A，B所作曲线 的两条切线平行的情形，此时AB为有心圆锥曲线的一 条直径由此可进一步得到文2的结论 参考文献 1张汉清圆锥曲线的个奇妙性质，数学通报，2001，9 2姜坤崇一道课本习题的引申，数学通报，1999，9 几何视角下经典向量题赏析 江苏省苏州工业园区星海实验中学(215012)顾日新 在数学中，把既有大小又有方向的量叫做向量，与 之相对的是数量，大小是向量的“血肉”，方向是向量的 “灵魂”

10、平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几 年不少省市的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考 查力度解答题中，向量如同一个戏份不多的配角，常 充当处理线线、线面和面面之间位置关系的工具；但在 诸多考查向量本身的小题当中，向量则是绝对的主角， 其解法灵活多样、变化多端，既可以是干脆利落的坐标 s辞： 运算，也可以是灵动飘逸的线性运算细细品味一些经 典考题，其深刻厚重的几何韵味无不让人心旷神怡、拍 案叫绝 几何视角1圆的最长弦长等于直径长 例l(2oo8浙江卷文科第16题)已知a是平面内 的单位向量，若向量b满足b(n一6)=0，则1 b I的 取值范围是 分析：本题可以根据数量积及向量模的相关运算