阿波罗尼斯圆性质及其应用 1.docx

阿波罗尼斯圆 性质及其应用 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历 山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在 他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 （人教 A 版 124 页 B 组第 3 题）已知点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)点距离的 比为 ，求点 M 的轨迹方程。 （人教 A 版 144 页 B 组第 2 题）已知点 M 与两个定点 ， 距离的比是 一 个正数 m,求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑 m=1 和 m 两种情形 ） 。 公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯 (Apollonius)在平 面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下 著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线 或圆（定值为 1 时是直线，定值不是 1 时为圆） 定义：一般的平面内到两顶点 A， B 距离之比为常数 （ ）的点的轨迹为圆， 此圆称为阿波罗尼斯圆 类型一：求轨迹方程 1.已知点 M 与两个定点 0,0O ， 0,3A 的距离的比为 21 ，求点 M 的轨迹方程 . 2.已知 02 aaAB ， 0 MBMA ，试分析 M 点的轨迹 3.（ 2006 年高考四川卷第 6 题）已知两定点 A（ -2， 0）， B（ 1， 0），如果动点 P 满足条件 | | | |，则点 P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A B. C. D.9 类型二： 求三角形面积的最值 4.（ 2008 江苏 卷 ） 满足条件 AB 2， AC BC 的 ABC 的面积的最大值是 5.（ 2011 浙江温州高三模拟） 在等腰 ABC 中， AB=AC， D 为 AC 的中点， BD=3， 则 ABC 面积的最大值为 6.在 ABC 中， AC=2， AB=mBC(m1),恰好当 B= 时 ABC 面积的最大， m= 类型三：定点定值问题 7. 已知圆 O： ,点 B(-5,0),在直线 OB 上存在定点 A(不同于点 B)，满 足对于圆 O 上任意一点 P，都有 为一常数，试求所有满足条件的点 A 的坐标， 并求 8.（ 2014 湖北文科卷 17 题）已知圆 O： ,点 A(-2.0),若定点 B(b,0)(b )和常数 满足 ：对圆 O 上任意一点 M，都有 | | | |， 则 = , . 类型四： 阿波罗尼斯圆 的性质 9. 已知圆 C: 定点 其中 P 为圆 C 上的动 点，则 PO+PB 的最小值为 10.已知函数 =2 ,若集合 | 则实数 的取值范围为 类型五：阿波罗尼斯圆的应用 阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆 +等和线） 11.已知 ， ，点 满足 + ,设 | |, 若 恒成立，则 的最大值为 12.（ 2018.1 湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷 17 题） 设 点 P 是 ABC 所在平面 内动 点 ，满足 CP CA CB,3 +4 2 （ , R ）， =PA PB PC 若 3AB ，则 ABC 的面积最大值是 阿波罗尼斯圆与三角形 13.（ 2018.5 月宁波模拟 16 题）已知向量 a,b 满足 | | ， | | | |，若 | | 恒成立，则实数 的取值范围为 . 14.（ 2018.4 月 杭州市第二次高考科目教学质量检测 17 题） 在 ABC 中， ， | | | |恒成立，求 的最大值 15. 在 ABC 中， AD 、 BE 分别为中线，若 ba 35 ，则 BEAD 的取值范 围 . 阿波罗尼斯圆与几何体 16.（ 2014 二模（理） 在等腰梯形 ABCD 中， E 、 F 分别为底边 CDAB, 的中点， 把四边形 AEFD 沿直线 EF 折起后所在平面记为 ， P ，设 PCPB， 与 所成 的角分别为 1 ， 2 （ 1 ， 2 均不为 0）， 21 ，则点 P 的轨迹为 . A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 17.在四面体 ABCD 中，已知 BCAD ， 6AD ， 2BC ，且 2 CDACBDAB ，则 BCDAV 的最大值为 . . 18.（ 2018.5 月浙江高三五校联考 17 题）棱长为 36 的正四面体 ABCD 的内切球 上有一个动点 M，则 MB+ 的最小值 练习： 1. 已知向量 3b ， aba 2 ，若 3 ba 恒成立，则实数 的取值范围 为 . 2. （ 2015 湖北理科卷 14 题）如图，圆 C 与 x 轴相切与点 0,1T ，与 y 轴正半轴 交于两点 BA, （ B 在 A 的上方）， 2AB （ 1） 圆 C 的标准方程为 . 过点 A 任作一条直线与圆 1: 22 yxO 相较于 NM, 两 点，下列三个结论： （ 2） MBMANBNA ; 2 MBMANANB ; 22 MBMANANB 其中正确结论的序号是 。（写出所有正确结论的序号） 3. BCS 为等腰直角三角形， 90 CBS ， 26SB ， A 为 SB 中点，将 BCS 沿 AC 翻折到 SBC 位置，且 BACS 为直二面角， P 为空间中一个动点 . （ 1） 若 SBCP 面 ，且 2PCPB ，求 PBC 面积的最大值； （ 2） P 在三棱锥 ABCS 表面上， E 为 BC 中点， M 、 N 为线段 SE 两个三等分 点， H 、 G 为空间中的两个动点， 2 GNGMHNHM ，且 334HG ，求 PHPG 的 最小值。 B A C N E S M .