2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）.docx

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1、2019 年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个符合题目要求的 1（ 5 分）已知 | 1 1P x x ， 1 | 2 2Q x x ，则 (PQ ) A 1( 1, ) 2 B (2,1) C 1( ,1) 2 D ( 2, 1) 2（ 5 分） |1 2 | (i ) A 3 B 7 C 5 D 3 3（ 5 分）函数 2( ) ( )xxf x x e e的大致图象为 ( ) A B C D 4（ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左 ) 视图为直角三角形，则该三棱锥外接球 的表面

2、积为 ( ) A 50 B 502 C 40 D 402 5（ 5 分）已知锐角 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 223 cos cos 2 0AA， 7a ， 6c ，则 (b ) A 10 B 9 C 8 D 5 6（ 5 分）在平行四边形 ABCD 中，已知 4AB ， 3AD ， 3CP PD ， 2APBP ，则 ABAD 的值是 ( ) A 4 B 6 C 8 D 10 7（ 5 分）如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的 示意图，它是由 4 个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，现向大 正方

3、形内丢一粒黄豆，当每个直角三角形的两直角边之比都是 2:3 时，则该黄豆落入小 正方形内的概 率为 ( ) A 2 3 B 1 3 C 2 13 D 1 13 8（ 5 分）某圆锥的侧面展开图是面积为 3 ，圆心角为 2 3 的扇形，则该圆锥的母线与底面 所成的角的余弦值为 ( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 9（ 5 分）已知奇函数 ()fx满足 ( ) ( 4)f x f x，当 (0,1)x 时， ( ) 4xfx ，则 4(log 18 ) (f ) A 23 32 B 23 32 C 3 4 D 3 8 10（ 5 分）已知点 P 是双曲线 22 1( 0 , 0

4、 )xy ab ab 右支上一点， 1F 、 2F 分别是双曲线的 左、右焦点， M 为 12PFF 的内心，若 1 2 1 2 12IPF M PF M F FS S S成立，则双曲线的离心率 为 ( ) A 4 B 5 2 C 2 D 5 3 11（ 5 分）如图是函数 s i n ( ) ( 0 , 0 ) 2yx 在区间 5 , 66 上的图象，将该图象 向右平移 | |( 0)mm 个单位后，所得图象关于直线 4x 对称，则 m 的最大值为 ( ) A 12 B 6 C 4 D 3 12（ 5 分）在平面直角坐标系中，设点 (, )pxy ，定义 | | | |OP x y ，其中

5、O 为坐标原点， 对于下列结论： （ 1）符合 2OP 的点 p 的轨迹围成的图形面积为 8； （ 2）设点 p 是直线： 3 2 2 0 xy 上任意一点，则 1minOP ； （ 3）设点 p 是直线： 1( )y kx k R 上任意一点，则使得“ OP 最小的点 P 有无数个”的 必要条件是 1k ； （ 4）设点 p 是圆 222xy上任意一点，则 2maxOP 其中正确的结论序号为 ( ) A（ 1）（ 2）（ 3） B（ 1）（ 3）（ 4） C（ 2）（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 4） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分 13（ 5 分）若直线

6、0 x my m 经过抛物线 2 2 ( 0)x py p的焦点，则 p 14（ 5 分）若 x ， y 满足约束条件 2020 20 xy y xy ，则 1 2z x y 的最小值为 15（ 5 分）已知等差数列 na ，若点 *( , )( )nn a n N 在经过点 (4,8) 的定直线 l 上，则数列 na 的前 7 项和 7S 16（ 5 分）已知函数 321( ) 3 3f x x x x ，若关于 x 的方程 2 ( ) ( ) 1 5 0 ( )f x tf x t R 有 m 个不同的实数解，则 m 的所有可能的值构成的集合为 三 .解答题：共 70 分解答应写出文字说明

7、、证明过程或演算步骤第 17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、 23 为选考题，考生根据要求作答 17（ 12 分）已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 3 9S ， 1a ， 3a ， 7a 成等比数列 （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若 1naa （当 2n 时），数列 nb 满足 2nanb ，求数列 nnab 的前 n 项和 nT 18（ 12 分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条 件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组 20 ， 25) ，第 2 组 25 ， 30) ，第 3 组 30

8、， 35) ，第 4 组 35 ， 40) ，第 5 组 40 ， 45 ，得到的频率分布直方图如图所示 （）若从第 3， 4， 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3， 4， 5 组各抽取多少名志愿者？ （） 在（ 1）的条件下，该市决定在第 3， 4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传 经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率 19（ 12 分）如图，在四棱锥中 O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，侧棱 OB 底面 ABCD ，且侧棱 OB 的长是 4，点 E ， F ， G 分别是 AB ， OD ， BC 的中点 （

9、1）证明： OD 平面 EFG ； （ 2）求三棱锥 O EFG 的体积 20（ 12 分）设椭圆 22 2: 1( 0)4xyCbb 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，上顶点为 A ，过点 A 与 2AF 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ，且 1 1 2 0FQ FF （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过椭圆 C 的右焦点 2F 作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点，试在 x 轴上求一 点 P ，使得以 PM ， PN 为邻边的平行四边形是菱形 21（ 12 分）已知函数 2( ) 2 ( )f x lnx x m x m R （ 1）若 ()fx在其定义

10、域内单调递增，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 175, 2m f x 且 有两个极值点 1x ， 2 1 2()x x x ，求 12( ) ( )f x f x 的取值范围 选做题 22（ 10 分）已知直线 l 过点 (1,0)P ，且倾斜角为 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为 极轴建立坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos （ 1）求圆 C 的直角坐标系方程及直线 l 的参数方程； （ 2）若直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点，求 11 | | | |PA PB 的最大值和最小值 23已知函数 ( ) | 2 1 | | 2 |f x x x （ 1）求不等式 (

11、) 3fx 的解集； （ 2）若 11( ) ( , 0 )f x m n mn 对任意 xR 恒成立，求 mn 的最小值 2019 年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个符合题目要求的 【解答】 解： | 1 1P x x ， 1 | 2 2Q x x ， | 2 1 ( 2 ,1 )P Q x x 故选： B 【解答】 解： |1 2|i 1 4 5 ， 故选： C 【解答】 解： 2( ) ( )xxf x x e e， 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x

12、 x xf x x e e x e e f x ， ()fx 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B ， D ， 2yx ，是增函数 (0, )x ， ( ) 0fx ， xxy e e 是增函数 (0, )x ， 0y ， 2( ) ( )xxf x x e e在 (0, ) 是增函数，排除 C （或者）当 x 时， ()fx ，故排除 C ， 故选： A 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球， 由底面三边长为 3， 4， 5，故底面外接圆半径 5 2r ， 球心到底面的距离 5 2d ， 故球半径 52

13、 2R ， 故外接球的表面积 24 50SR， 故选： A 【解答】 解： 2 2 22 3 c o s c o s 2 2 3 c o s 2 c o s 1 0A A A A ，即 2 1cos 25A ， A 为锐角， 1cos 5A， 又 7a ， 6c ， 根据余弦定理得： 2 2 2 2 c o sa b c bc A ，即 2 1249 36 5bb ， 解得： 5b 或 13 5b （舍去）， 则 5b 故选： D 【解答】 解：平行四边形 ABCD 中，已知 4AB ， 3AD ， 3CP PD ， 又 2APBP ， ( ) ( ) 2AD D P BC C P ， 2A

14、D B C A D C P D P B C D P C P ， 即 319 1 3 2 44A D A B A D A B ， 8ADAB 故选： C 【解答】 解：设小正方形的边长为 a ， 由每个直角三角形的两直角边之比都是 2:3 ， 则直角三角形的两边长分别为： 2a ， 3a ， 则大正方形的边长为： 22(2 ) (3 ) 13a a a， 设事件 A 为“向大正方形内丢一粒黄豆，黄豆落入小正方形内”， 则 P （ A） 2 2 113( 13 ) S aS a 小 正 方 形 大 正 方 形 ， 故选： D 【解答】 解： 圆锥的侧面展开图是面积为 3 ，圆心角为 2 3 的扇形

15、， 则圆锥的母线 l 满足： 21 3 3 l 故圆锥的母线长为 3， 又由 232rl 可得圆锥的底面半径为 1， 故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 1 3 故选： B 【解答】 解： 奇函数 ()fx满足 ( ) ( 4)f x f x， 当 (0,1)x 时， ( ) 4xfx ， 44( lo g 1 8 4 ) ( lo g 1 8 4 4 )ff 4184 4(4 )log 4184 234 32 故选： A 【解答】 解：如图，设圆 M 与 12PFF 的三边 12FF 、 1PF 、 2PF 分别相切于点 E 、 F 、 G ， 连接 ME 、 MF 、 MG ， 则 1

16、2ME FF ， 1MF PF ， 2MG PF ，它们分别是 12MFF ， 1MPF ， 2MPF 的高， 1 11 1 | | | | | |22M P F rS P F M F P F ， 2 22 1 | | | | | |22M P F rS P F M G P F 12 1 2 1 2 1 | | | | | |22M F F rS F F M E F F ，其中 r 是 12PFF 的内切圆的半径 1 2 1 2 12M PF M PF M F FS S S 1 2 1 2| | | | | |2 2 4r r rP F P F F F 两边约去 2r 得： 1 2 1 21|

17、 | | | | |2PF PF F F 1 2 1 21| | | | | |2PF PF F F 根据双曲线定义，得 12| | | | 2PF PF a， 12| | 2FF c 2ac 离心率为 2ce a 故选： C 【解答】 解：由函数 sin( )yx， ( 0,| | ) 2 的图象可得 25 () 66T ， 可得： 2 再由五点法作图可得 2 ( ) 0 6 ， 可得： 3 故函数的 ()fx的解析式为 ( ) s i n ( 2 ) s i n 2 ( ) 36f x x x 故把 ( ) sin 2( ) 6f x x 的图象向右平移 | |( 0)mm 个单位长度，可

18、得 ( ) sin 2 ( | | ) 6g x x m 的图象， 由于：所得图象关于直线 4x 对称， 可得： sin 2 ( | | ) 1 46m ， 可得： 2 ( | | ) 4 6 2mk ，解得： 1| 62mk ， kZ ， 由于： 0m ，可得： 1 26mk ， kZ ， 可得：当 0k 时， m 的最大值为： 6 故选： B 【解答】 解：（ 1）由 2OP ，根据新定义得： | | | | 2xy， 由方程表示的图形关于 x ， y 轴对称和原点对称， 且 2 (0 2 , 0 2 )x y x y 剟剟， 画出图象如图所示： 根据图形得到：四边形 ABCD 为边长是

19、22的正方形，面积等于 8， 故（ 1）正确； （ 2） (, )Pxy 为直线： 3 2 2 0 xy 上任一点，可得 31 2yx ， 可得 3| | | | | | | 1 | 2x y x x ， 当 0 x 时， 3 1 (1 ) 1 2OP x ；当 20 3x 时， 3 1 (1 ) (1 2OP x ， 2) 3 ； 当 2 3x 时，可得 32 1 (1 ) 2 3O P x ，综上可得 OP 的最小值为 1，故（ 2）正确； （ 3） | | | | | | | ( 1 ) 1 |x y x y k x ，当 1k 时， | | | | | | 1xy ，满足题意； 而 |

20、 | | | | | | ( 1 ) 1 |x y x y k x ，当 1k 时， | | | | 1 | 1xy ，满足题意 “使 OP 最小的点 P 有无数个”的充要条件是“ 1k ”，（ 3）正确； （ 4） 点 P 是圆 222xy上任意一点，则可设 2cosx ， 2siny ， 0 ， 2) ， | | | | 2 ( c o s s i n ) 2 s i n ( )4O P x y ， 0 ， 2 ， 2maxOP，（ 4）正确 则正确的结论有：（ 2）、（ 3）、（ 4） 故选： C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分 【解答】 解： 直线 0 x m

21、y m 过点 (0,1) ，即抛物线 2 2 ( 0)x py p的焦点 F 为 (0,1) ， 12p ，则 2p ； 故答案为： 2 【解答】 解：先根据 x ， y 满足约束条件 2020 20 xy y xy 画出可行域： 当直线 1 2z x y 过点 (0, 2)B 时， z 最小是 2 ， 故答案为： 2 【解答】 解：等差数列 na 中，点 *( , )( )nn a n N 在经过点 (4,8) 的定直线 l 上， 4 8a， 数列 na 的前 7 项和 7 1 7 47 ( ) 7 5 62S a a a 故答案为： 56 【解答】 解：函数 ()fx的导数为 2( ) 2

22、 3f x x x ， 由 ( ) 0fx，得 1x 或 3x 时， ()fx递增； 由 ( ) 0fx，得 31x 时， ()fx递减 即有 ()fx 在 1x 处取得极小值 f （ 1） 1513 33 ；在 3x 处取得极大值 321( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 ( 3 ) 93f ， 作出 ()fx的图象，如图所示； 关于 x 的方程 2 ( ) ( ) 15 0f x tf x ， 由判别式 2 60 0t ，方程有两个不等实根， 令 ()n f x ，则 2 15 0n nt ， 12 15 0nn ， 则原方程有一正一负实根 而 5 9 15 3 ， 即当 1 9n ，

23、则 2 53n ，此时 1yn ，和 ()fx有两个交点， 2yn 与 ()fx有两个交点，此 时共有 4 个交点， 当 1 9n ，则 25 03 n ，此时 1yn ，和 ()fx有 1 个交点， 2yn 与 ()fx有 3 个交点，此 时共有 4 个交点， 当 15 93 n ，则 2 53n 或 2 9n ，此时 1yn 和 ()fx有 3 个交点， 2yn 与 ()fx有 1 个 交点，此时共有 4 个交点， 当 1 53n ，则 2 9n ，此时 1yn 和 ()fx有 2 个交点， 2yn 与 ()fx有 2 个交点，此时共 有 4 个交点， 当 1 53n ，则 209n，此时

24、 1yn 和 ()fx有 1 个交点， 2yn 与 ()fx有 3 个交点，此时 共有 4 个交点， 综上方程 2 ( ) ( ) 1 5 0 ( )f x tf x t R 恒有 4 个不同的实数解，即 4m ， 即 m 的所有可能的值构成的集合为 4 ， 故答案为： 4 三 .解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、 23 为选考题，考生根据要求作答 【解答】 解：（ 1） 3 9S ， 2 3a， 1 3ad 1a ， 3a ， 7a 成等比数列， 23 1 7a aa ， 21 1 1( 2 ) ( 6

25、)a d a a d 由 得： 1 03da 或 1 12da ， 当 1 03da 时， 3na 当 1 12da 时， 1nan ； （ 2） 1naa （当 2n 时）， 0d， 1nan ， 12nnb ， 1( 1)2nnna b n ， 2 3 4 12 2 3 2 4 2 ( 1 ) 2 nnTn 3 4 5 22 2 2 3 2 4 2 ( 1 ) 2 nn 得 2 3 4 1 24 2 2 2 2 ( 1 ) 2nnnTn 224 (1 2 )4 ( 1 ) 2 212 n nnnn 22nnTn 【解答】 解：（） 第 3 组的人数为 0.3 100 30，第 4 组的人数

26、为 0.2 100 20，第 5 组 的人数为 0.1 100 10 因为第 3， 4， 5 组共有 60 名志愿者， 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第 3 组： 30 63 60 ； 第 4 组： 20 62 60 ； 第 5 组： 10 61 60 所以应从第 3， 4， 5 组中分别抽取 3 人， 2 人， 1 人； （） 记第 3 组的 3 名志愿者为 1A ， 2A ， 3A ，第 4 组的 2 名志愿者为 1B ， 2B ，则从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者有： 1(A ， 2)A ， 1(A ， 3)A ， 1(A ，

27、1)B ， 1(A ， 2)B ， 2(A ， 3)A ， 2(A ， 1)B ， 2(A ， 2)B ， 3(A ， 1)B ， 3(A ， 2)B ， 1(B ， 2)B 共有 10 种 其中第 4 组的 2 名志愿者 1B ， 2B 至少有一名志愿者被抽中的有： 1(A ， 1)B ， 1(A ， 2)B ， 2(A ， 1)B ， 2(A ， 2)B ， 3(A ， 1)B ， 3(A ， 2)B ， 1(B ， 2)B ，共有 7 种 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 7 10 【解答】 （ 1）证明： 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E 是 AB 的中点，

28、25DE ， 又侧棱 OB 底面 ABCD ， AB 面 ABCD ， OB AB ， 又 4OB ， 2EB ， 25OE ， 25DE OE， ODE 是等腰三角形， F 是 OD 的中点， EF OD 同理 25DG DO， ODG 是等腰三角形， F 是 OD 的中点， FG OD， EF FG F ， EF ， FG 面 EFG ， OD平面 EFG ； （ 2）解： 侧棱 OB 底面 ABCD ， BD 面 ABCD ， OB BD， 4OB ， 42BD ， 43OD ， 由（ 1）知： OD 平面 EFG ， OF 是三棱锥中， O 到平面 EFG 的距离， F 是 OD 的中

29、点， 23OF ， 25DE OE， EF OD ， 22EF ， 25DG DO， FH OD ， 22FG ， 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E 、 G 分别是 AB 、 BC 的中点， 22EG ， EFG 是等边三角形， 23EFGS ， 三棱锥 O EFG 的体积 11 2 3 2 3 433 O E F G E F GV S O F 【解答】 解：（ 1）设椭圆 C 的焦距为 2( 0)cc ，则点 1F 的坐标为 ( ,0)c ，点 2 F 的坐标为 (,0)c ， 设点 Q 的坐标为 0(x ， 0) ，且 0 0 x ， 10( ,0)FQ x c ， 12 (

30、2 ,0)FF c ， 1 1 2 0FQ FF，则 0 20 x c c ，所以， 0 3xc ，则点 Q 的坐标为 ( 3,0)c ， 直线 2AF 与直线 AQ 垂直，且点 (,0)Ab ，所以， 2 ( , )AF c b， ( 3 , )AQ c b ， 由 222 30AF AQ b c ，得 223bc ， 2 2 244b c c ，所以， 3b ， 1c 因此，椭圆 C 的方程为 221 43xy ； （ 2）设点 1(Mx， 1)y 、 2(Nx， 2)y ，直线 l 的方程为 1yx， 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立 22 1 143 yx xy ，消去 y 并

31、整理得 27 8 8 0 xx ， 由韦达定理得 1287xx ， 12 87xx ，所以， 124 27xx 因此，线段 MN 的中点为 43( , ) 77E 设点 P 的坐标为 (,0)t ，由于 PM ， PN 为邻边的平行四边形是菱形，则 PE MN 直线 PE 的斜率为 3 37 1 4 74 7 PEk tt ，解得 1 7t 因此，当点 P 的坐标为 1( ,0) 7 时，以 PM ， PN 为邻边的平行四边形是菱形 【解答】 解：（ 1） 2( ) 2f x lnx x mx 的定义域为 (0, ) ，且 ()fx在其定义域内单调递 增， 2( ) 2 0f x x mx ，

32、即 12( )mxx 在区间 (0, ) 恒成立， 112( ) 4 4xxxx ，当且仅当 1x 时取等号， 4m ， 即实数 m 的范围 ( ， 4 ； （ 2）由（ 1）知 22 2 2( ) 2 x m xf x x m xx ， 令 22 2 0 x mx ， 175 2m 时， ()fx有两个极值点， 此时 12 02mxx ， 121xx ， 1201xx ， 1112( ) (5mxx ， 17) 2 ，解得 11142x ， 由于 2 11x x ，于是 221 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )f x f x x m x ln x x m x

33、ln x 2 2 21 2 1 2 1 2 1 12 1 1( ) ( ) 2( ) 4x x m x x lnx lnx x lnxx ， 令 2 21( ) 4h x x lnxx ， 则 22 32( 1)( ) 0 xhx x ， ()hx 在区间 1(4 ， 1)2 内单调递减， 1 1 2 5 5( ) 1 6 8 2 8 24 1 6 1 6h ln ln ， 1 1 1 5( ) 4 4 2 4 22 4 4h ln ln ， 即 121 5 2 5 54 2 ( ) ( ) 8 24 1 6ln f x f x ln ， 故 12( ) ( )f x f x 的取值范围为 1

34、5( 4 2 4 ln ， 255 8 2) 16 ln 选做题 【解答】 解：（ 1）由 4cos ，得 2 4 cos ，即 224x y x ， 所以圆 C 的直角坐标方程为 22( 2) 4xy ， 直线 l 过点 (1,0)P ，且倾斜角为 ， 所以直线 l 的参数方程为 1 cos ( sinxt tyt 为参数） （ 2）将 1 cos sinxtyt 代入 22( 2) 4xy ， 得 2 2 cos 3 0tt ， 2(2 cos ) 12 0t ， 设 A ， B 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ， 则 2 21 2 1 212 12 ( ) 4|1 1 | | 2

35、c o s 3| | | | | | | | | | 3 3t t t tttABP A P B P A P B t t ， 因为 cos 1 ， 1 ， 所以 11 | | | |PA PB 的最大值为 4 3 ，最小值为 23 3 【解答】 解：（ 1） 13 3( ) 2 1( ) 1( 2 ) 2 3 3( 2 ) xx f x x x xx ， ( ) 3fx ， 12 3 3 3 x x 或 1 22 13 x x 或 2 3 3 3xx 解得 | 0 xx 或 2x ， 故 ( ) 3fx 的解集为 | 0 xx 或 2x （ 2）由函数的解析式得： 3() 2minfx ， 1 1 32mn ， 32mnmn ， 即 233() 22 mnm n m n mn 剟 ? ，当且仅当 mn 时等号成立， m ， 0n ，解得 83mn ，当且仅当 mn 时等号成立， 故 mn 的最小值为 8 3 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期： 2019/4/5 2 3:00:13；用户： James；邮箱： 153990952 93；学号： 87 96782