2019年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科）.docx

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1、2019 年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符题目要求的） 1（ 5 分）设集合 2 | 3 0A x x x ， | 2B x x，则 ( ) ( RAB ) A | 2 3xx B | 0 xx C | 0 2xx D | 2 0 xx 2（ 5 分）已知 i 为虚数单位， aR ，若 2i ai 为纯虚数，则复数 42z a i 的模等于 ( ) A 2 B 3 C 6 D 11 3（ 5 分）同时掷两枚骰子，则向上的点数和是 9 的概率为 ( ) A 1 36 B 1 12 C

2、1 9 D 1 6 4（ 5 分）如图，网格纸的各小格都是边长为 1 的正方形，粗实线画出的受一个几何体的三 视图，则这个几何体的表面积是 ( ) A (2 2) B (2 2 2) C (4 2) D (4 2 2) 5（ 5 分）某数学教师为了解 A 、 B 两个班级学生的数学竞骞成绩，将两个班级各 10 名参 加竞赛选拔考试的成绩绘成茎叶图如图所示设 A 、 B 两班的平均成绩分别为 ,ABxx， 中位数分别为 Am 、 Bm ，则 ( ) A ,A B A Bx x m m B ,A B A Bx x m m C ,A B A Bx x m m D ,A B A Bx x m m 6（

3、 5 分）若函数 sin( )yx的一个对称中心为 ( ,0) 6 ，则函数 cos( )yx的一条对称 轴为 ( ) A 3x B 6x C 4x D 3x 7（ 5 分）数列 na 为等比数列，若 1 1a ， 748aa ，数列 1 na 的前 n 项和为 nS ，则 5 (S ) A 31 16 B 15 8 C 7 D 31 8（ 5 分）等边 ABC 的边长为 1， D ， E 是边 BC 的两个三等分点，则 ADAE 等于 ( ) A 13 18 B 3 4 C 1 3 D 3 2 9（ 5 分）函数 2sin( ) 2 | |xf x x x x 的大致图象为 ( ) A B

4、C D 10（ 5 分）若双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a b ab 的一条渐近线被圆 22( 2) 4xy 所截得的 弦长为 2，双曲线 C 的离心率为 ( ) A 3 3 B 23 3 C 3 D 2 11（ 5 分）在三棱锥 A BCD 中， BC BD ， 43AB AD BD ， 6BC ，平面 ABD 平面 BCD ，则三棱锥 A BCD 的外接球体积为 ( ) A 36 B 256 3 C 500 3 D 288 12（ 5 分）若函数 2( ) ( 1 ) ( 0 )f x ln x a x a x 恰有一个零点，则实数 a 的值为 ( ) A 1 2 B 2 C

5、 1 e D e 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13（ 5 分）已知实数 x 、 y 满足 2 60 20 x xy yx ，则 1 6yz x 的最大值为 14（ 5 分）若函数 () xxf x e e ，则不等式 (2 1) ( 2 ) 0f x f x 的解集为 15（ 5 分）已知抛物线 2:8C y x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点，交 C 的 准线于点 M ，若 F 为 AM 的中点，则 |AB 16（ 5 分）在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别边 a 、 b 、 c ，若 22 4a b ab ，

6、 2c ， 则 2ab 的取值范围是 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答） 17（ 12 分）已知数列 na 满足 1 111, ( 1 ) 1 ( 2 , )21n na n a n n Nna （ 1）求 2a 、 3a ； （ 2）求证：数列 1 ( 1) nna 为等差数列； （ 3）求数列 na 的前 n 项和 nS 18（ 12 分）在一次“综艺类和体育类节目，哪一类节目受中学生欢迎”的调查中，随机调 查了男女各 100 名学生，其中女同学中有 73 人更爱看

7、综艺类节目，另外 27 人更爱看体 育类节目；男同学中有 42 人更爱看综艺类节目，另外 58 人更爱看体育类节目 （ 1）根据以上数据填好如下 22 列联表： 综艺类 体育类 总计 女 男 总计 （ 2）试判断是否有 99.9% 的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有 关” 参考公式： 22 () ( ) ( ) ( ) ( )n ad bcK a b c d a c b d 临界值表： 2 0()PK k 0.025 0.01 0.005 0.001 0k 5.024 6.635 7.879 10.828 19（ 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， AB BC ，

8、 /AD BC ， PB AE ， E 为 CD 中点， 3AB ， 22BC AD （ 1）证明：平面 PAE 平面 PBD ； （ 2）若 2PB PD，求三棱锥 P ADE 的体积 20（ 12 分）在直角坐标系 xOy 中，过点 (4,0)M 且斜率为 k 的直线交椭圆 2 2 1 4x y 于 A 、 B 两点 （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）当 0k 时，若点 A 关于 x 轴的对称点为 P ，直线 BP 交 x 轴于 N ，证明： |ON 为定值 21（ 12 分）已知函数 ( ) ( 1 ) 1 ( )f x a x x ln x x a R （ 1）当 2a 时，求 (

9、)fx在 (1 ， f （ 1） ) 处的切线方程； （ 2）当 1x ， ) 时， ( ) 0fx 恒成立，求 a 的取值范围 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将椭圆 22 1 4yx 上每一点的横坐标保持不变，纵 坐标变为原来的一半，得到曲线 C 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，直线 l 的极坐标方程为 (sin cos ) 1 （ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）已知点 (1,3)M ，且直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，求 11 | | | |MA MB 的值 选修 4-

10、5：不等式选讲 23已知函数 ( ) | 2 | | 2 3 |f x x x （ 1）解不等式 ( ) 5fx ； （ 2）若 0 1x， ) ，使 0003()f x m x x 成立，求实数 m 的取值范围 2019 年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符题目要求的） 【解答】 解： | 0 3A x x ； | 0RA x x ，或 3x ； ( ) | 0R A B x x 故选： B 【解答】 解：由 222 ( 2 ) ( ) 2 1 2( ) ( ) 1

11、 1i i a i a a ia i a i a i a a 为纯虚数， 得 2 1 0a ，即 1 2a 4 2 2 2z a i i ，则 | | 4 2 6z 故选： C 【解答】 解：同时掷两枚骰子， 基本事件总数 6 6 36n ， 向上的点数和是 9 包含的基本事件有： (3,6) ， (6,3) ， (4,5) ， (5,4) ，共 4 个， 则向上的点数和是 9 的概率 41 36 9p 故选： C 【解答】 解：由三视图得到该几何体是上、下两个圆锥与中间圆柱体的组合体， 如图所示； 其中底面圆的半径为 1，圆锥的高为 1，圆柱的高为 2， 组合体的表面积为 222 1 1 1

12、 2 1 2 2 2 4S 故选： D 【解答】 解：由茎叶图可知： 1 ( 5 1 5 7 6 2 6 3 7 4 7 6 8 1 8 4 8 6 9 8 ) 7 3 . 2 10Ax ， 76 74 752Am ， 1 ( 5 8 6 4 6 9 7 1 7 1 7 5 8 3 8 5 9 1 9 2 ) 7 5 . 910Bx ，中位数分别 71 75 732Bm ， 可得： ,A B A Bx x m m， 故选： B 【解答】 解： 函数 sin( )yx的对称中心和 cos( )yx的对称轴在一条直线上的， 若 sin( )yx的对称中心为 ( ,0)6 ，则函数 cos( )yx

13、的一条对称轴为 6x 故选： B 【解答】 解： 数列 na 为等比数列， 1 1a ， 748aa ， 638qq ，解得 2q ， 111 2nnna a q ， 数列 1 na 的前 n 项和为 nS ， 5 5 11 (1 )1 1 1 1 3 1 21 12 4 8 1 6 1 6 1 2 S 故选： A 【解答】 解：等边 ABC 的边长为 1， D ， E 是边 BC 的两个三等分点， 2133AD AB AC， 1233AE AB AC， 则 222 5 2 2 5 1 2 1 3 9 9 9 9 9 2 9 1 8A D A E A B A B A C A C 故选： A 【

14、解答】 解： f （ 1） s in 1 1 2 s in 1 1 0 ，排除， B ， C ， 当 0 x 时， sin 1x x ，则 ( ) 1 0 1fx ，排除 A ， 故选： D 【解答】 解：双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a b ab 的一条渐近线方程设为 0bx ay， 圆 22( 2) 4xy 的圆心为 (0,2) ，半径 2r ， 可得圆心到渐近线的距离为 22| 0 2 |ad ba ， 则 2 2242 2 4 aba ，化为 223ab ， 2 2 1 2 311 33cbe aa ， 故选： B 【解答】 解： 平面 ABD 平面 BCD ，平面 AB

15、D 平面 BCD BD ， BC BD ， BC 平 面 BCD ， BC平面 ABD ， 43AB AD BD ，所以， ABD 是边长为 43的等边三角形， 由正弦定理得 ABD 的外接圆的直径为 28sin 3 ABr ， 所以，该球的直径为 222 (2 ) 1 0R r BC ，则 5R ， 因此，三棱锥 A BCD 的外接球体积为 334 4 5 0 05 3 3 3VR 故选： C 【解答】 解：函数的定义域为 (1, ) ， 若函数 2( ) ( 1 ) ( 0 )f x ln x a x a x 恰有一个零点， 等价为 2( ) ( 1 ) ( 0 )f x ln x a x

16、 a x 恰有一个根， 即 2( 1)ln x ax x 只有一个根， 即函数 2( 1)y ln x x 和 y ax 的图象只有一个交点， 即当 0a 时， y ax 是函数 2( 1)y ln x x 的 切线设 2( ) ( 1)g x ln x x ，切点为 ( , )mn ， 则 2( 1)ln m n m ， 函数的导数 212() 1gx xx ，即切线斜率 212() 1k g m amm ， 则切线方程为 212( )( )1y n x mmm ， 即 2 2 21 2 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )1 1 1y x m n x m ln mm

17、 m m m m m m ， 切线过原点， 21 2 2( ) ( 1 ) 01m ln mm m m ， 即 2 2 4( 1 ) ( 1 ) 0 11mmln m ln mm m m m m ， 得 2m ，此时 21 2 1 2 1 111 2 1 4 2 2a mm ， 故选： A 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 【解答】 解： 1 6yz x 的几何意义是区域内的点到定点 (6, 1)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域， 由图象知 AD 的斜率最大， BD 的斜率最小， 由 2 20 xyx 解得 (2,1)A ， 此时 1 1 1 2 6 2z ， 故

18、答案为： 1 2 【解答】 解： ( ) ( ) ( )x x x xf x e e e e f x ，则函数 ()fx是奇函数， 在定义域 R 上， ()fx是增函数， 则不等式 (2 1) ( 2 ) 0f x f x 等价为 ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 )f x f x f x ， 则 2 1 2xx ， 即 1 3x ， 即不等式的解集为 1( 3 ， ) ， 故答案为： 1( 3 ， ) 【解答】 解：如图， 由抛物线 2:8C y x ，得 4p ， F 为 AM 的中点， 2 2 8AE FG p ，则 862 A px 由 2 4 4AB pxx ，得 42 63Bx

19、， 2822 3 3 B pBF x 8 3 2| | | | | | 8 33A B A F B F 故答案为： 32 3 【解答】 解： 22 4a b ab ， 2c ， 2 2 2a b ab c ， 2 2 2 122a b cab ， 1cos 2C ，又 0 C ， 23C ， sin sin 4 32 2 ( 2 sin sin )sin sin 3c A c Ba b A BCC 43 ( 2 s in s in( ) )33AA 4sin( )6A 0 3A ， 6 6 2A ， 1 sin( ) 126A ， 2 2 4ab 故答案为 (2,4) 三、解答题（共 70 分

20、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答） 【解答】 解：（ 1） 2 113121a a ， 2 16a ， 3 214131a a ， 3 112a ； （ 2） 1 11 1( 1 ) 1 11nn nn nana na na ， 1 11 111 1( 1 ) n n n n nan a na na ， 1 111( 1) nnn a na ， 数列 1( 1) nna 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； （ 3）由（ 2）知： 1 ( 1) n nna ， 1 1 1 ( 1) 1na

21、n n n n ， 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1 1n nS n n n n 【解答】 解：（ 1）根据题目中的数据填写 22 列联表，如下； 综艺类 体育类 总计 女 73 27 100 男 42 58 100 总计 115 85 200 （ 2）估计表中数据，计算 22 2 0 0 (7 3 5 8 2 7 4 2 ) 1 9 . 6 6 1 0 . 8 2 8 1 1 5 8 5 1 0 0 1 0 0K ， 所以有 99.9% 的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关” 【解答】 （ 1）证明：由 AB BC ， /AD BC

22、 ， 3AB ， 22BC AD，可得 2DC ， 3BCD ， 2BD 从而 BCD 是等边三角形， 3BDC ， BD 平分 ADC E 为 CD 中点， 1DA DE， BD AE， 又 PB AE ， PB BD B ， AE平面 PBD AE 平面 PAE ， 平面 PAE 平面 PBD ； （ 2）解：由（ 1）知， AE 平面 PBD ，则平面 PBD 平面 ABCD ， 取 BD 中点 O ，连接 PO ，则 PO BD 平面 PBD 平面 ABCD ，平面 PBD 平面 ABCD BD ， PO平面 ABCD 2PB PD BD， 3PO， 又 131 1 sin 120 2

23、4AD ES 1 3 133 4 4 P ADEV 【解答】 解：（ 1）过点 (4,0)M 且斜率为 k 的直线为： ( 4)y k x 代入椭圆 2 2 1 4x y 得： 2 2 2 21( ) 8 1 6 1 0 4k x k x k ， 若直线与椭圆有两个交点， 则 2 2 2 21( 8 ) 4 ( ) (1 6 1 ) 0 4k k k ， 解得： 3( 6k ， 3) 6 （ 2）设 1(Ax， 1)y 、 2(Bx ， 2)y ， 1(Px， 1)y 、 由（ 1）得：由 2 12 2 8 1 4 kxx k ， 2 12 2 16 11 4 kxx k ， 直线 BP 的方

24、程为： 11 2 1 2 1 x x y yx x y y 令 0y ，则 N 点的横坐标为： 1 2 1 1 21() y x x xyy ， 故 22 22 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 16 1 82 ( ) 4 ( ) 11 2 ( ) 4 ( ) 44| | | ( ) | | | 1 8( ) 8 ( ) 8 1 4 kkkk kky x y x y k x x k x x O N x x x ky y y y k x x k kk k 即 |ON 为定值 1 【解答】 解：（ 1） 2a 时， ( ) 2 ( 1) 1f x x

25、x ln x x ， ( ) 2 ( 2 1) 2 1f x x ln x x ， 故 f （ 1） 0 ， f （ 1） 3 ， 故切线方程是： 3( 1)yx， 即 3 3 0 xy ； （ 2）当 1x ， ) 时， ( ) 0fx 恒成立， 即 ( 1) 1ax x lnx x ， 1x 时，显然成立， 1x 时，只需 1( 1)xa x x lnx 在 (1, ) 恒成立， 令 1() ( 1)xhx x x lnx ， ( 1)x ， 则 22 2 2 2( 2 1 ) 1() ()x x lnx xhx x x ln x ， 令 22( ) ( 2 1 ) 1m x x x ln

26、 x x ， ( )x ， 则 1( ) 2 (1 ) 3 2 0m x x ln x x x ， 故 ()mx 在 (1, ) 递减， 故 ()mx m （ 1） 0 ， 故 ( ) 0hx在 (1, ) 恒成立， 故 ()hx 在 (1, ) 递减， 而 111 1 1l im l im( 1 ) ( 2 1 ) 1 2xxxx x lnx x lnx x ， 故 1 2a 选修 4-4：坐标系与参数方程 【解答】 解：（ 1）将椭圆 22 1 4yx 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半， 得到曲线 C 得到圆 221xy的图象， 故曲线 C 的普通方程为 221xy； 直线

27、l 的极坐标方程为 (sin cos ) 1 故直线 l 的直角坐标方程为 1yx，即 10 xy ； （ 2）直线过点 (1,3)M 且倾斜角为 4 ， 故直线 l 的参数方程为： 21 2 ( 23 2 xt t yt 为参数） 代入方程 221xy 化为： 2 4 2 10 0tt ， 1242tt ， 1210tt 根据 t 的几何意义可得： 12 12 1 1 2 2| | | | 5ttM A M B t t 选修 4-5：不等式选讲 【解答】 解：（ 1） 0( ) 5 2 3 2 5xfx xx 或 30 2 2 3 2 5 x xx 剟 或 32 2 2 3 5 x xx 解得 1 2 2 x 剟 不等式 ( ) 5fx 的解集为 1 2 ， 2 （ 2）由 0003()f x m x x 得 00 03| 2 3 | 0 x x mx 令 000 0 0 0 0 00 0 333 3 , 23( ) | 2 3 | 333 , 1 2 xxx g x x x x xxx ， 则 0( ) 1mingx ， 10m ， 1m 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期： 2019/4/5 2 3:00:56；用户： James；邮箱： 153990952 93；学号： 87 96782