2019年陕西省高考数学二模试卷（文科）.docx

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1、2019 年陕西省高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求 ) 1（ 5 分）已知集合 | 2 2M x x ， | 1N x x，则 MN为 ( ) A (2,2) B (1, ) C (1,2) D ( 2, ) 2（ 5 分）设复数 z 满足 15 22zi ，则 | | (z ) A 3 B 26 C 4 D 26 2 3（ 5 分）已知实数 x ， y 满足约束条件 40 10 xy yx x ，则目标函数 2z x y的最大值为 ( ) A 7 B 6 C 5 D 3 4（ 5 分）已知命题 p ：对任意

2、 0 x ，总有 sinxx ；命题 q ：直线 1 : 2 1 0l ax y ， 2 : ( 1) 1 0l x a y ，若 12/ll，则 2a 或 1a ；则下列命题中是真命题的是 ( ) A pq B ( ) ( )pq C ()pq D pq 5（ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则此三棱锥的体 积为 ( ) A 1 3 B 2 3 C 4 3 D 2 6（ 5 分）如图是计算 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) A 5k B 5k C 5k D 6k 7（ 5 分）已知点 (2,8) 在

3、幂函数 ()nf x x 图象上，设 0.51( ) ) 2af ， 0.2(2 )bf ， 2 1(log )2cf ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( ) A bac B abc C c b a D b c a 8（ 5 分）要得到 sin(2 ) 12yx 的图象，只需将函数 sin2yx 的图象 ( ) A向左平移 6 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 24 个单位 D向右平移 24 个单位 9（ 5 分）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的 道教圣地，古代圣哲老子曾在此著道德经五千言景区内有一处景点建筑，是按古典著 作连山易中记载

4、的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同 属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为 ( ) A 2 3 B 1 2 C 1 5 D 2 5 10（ 5 分）已知抛物线 2 4yx 的准线过双曲线 22 1( 0 , 0 )xy ab ab 的左焦点且与双曲线 交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，且 AOB 的面积为 3 2 ，则双曲线的离心率为 ( ) A 3 2 B 4 C 3 D 2 11（ 5 分）一布袋中装有 n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一 个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推

5、断中正 确的是 ( ) A若 9n ，则甲有必赢的策略 B若 11n ，则乙有必赢的策略 C若 6n ，则乙有必赢的策略 D若 4n ，则甲有必赢的策略 12（ 5 分）已知函数 2,0() ( 1) , 0 xexfx xx ，又函数 2( ) ( ) ( ) 1 ( )g x f x tf x t R 有 4 个不同 的零点，则实数 t 的取值范围是 ( ) A ( , 2) B (2, ) C (2,2) D (2,4) 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分 ) 13（ 5 分）双曲线 221 9 16xy 的焦点坐标为 14（ 5 分）设函数 32( ) 2 1f x x ax

6、bx 的导函数为 ()fx ，若函数 ()y f x 的图象的顶点 横坐标为 1 2 ，且 f （ 1） 0 则 ab 的值为 15（ 5 分）公比为 2 的等比数列 na 的各项都是正数，且 2 12 16aa ，则 2 15log a 16（ 5 分）已知集合 (Mx ， )| ( )y y f x ，若对于任意 1(x ， 1)yM ，存在 2(x ， 2)yM ， 使得 1 2 1 2 0 x x y y成立，则称集合 M 是“垂直对点集”给出下列四个集合： ( , ) | s in 1M x y y x 1( , ) | M x y y x ( , ) | 2xM x y y e 2

7、 ( , ) | lo g M x y y x 其中是“垂直对点集”的序号是 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 5 12+10 70分 ) 17（ 12 分）某市规划一个平面示意图为如图五边形 ABCDE 的一条自行车赛道， ED ， DC ， CB ， BA ， AE 为赛道（不考虑宽度）， BE 为赛道内的一条服务通道， 23B C D C D E B A E ， 4DE km ， 3BC CD km （ 1）求服务通道 BE 的长度； （ 2）当 4AEB 时，赛道 BA 的长度？ 18（ 12 分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 20

8、18 年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 （ 1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 y （单位：百万元）与月份代码 x 之 间的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润； （ 2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 A ， B 两种型号的新型材料 可供选择，按规定每种新型材料最多可使用 4 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的 年限不相同，现对 A ， B 两种型号的新型材料对应的产品各 100 件进行科学模拟测试，得 到两种新型材料使用寿命的频数统计如表： 使用寿命 材料类型 1

9、 个月 2 个月 3 个月 4 个月 总计 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据： 6 1 96ii y ， 6 1 371iii xy 参考公式：回归直线方程为 y bx a，其中 11 2 2 2 11 ( ) ( ) ( ) () nn i i i i ii nn ii ii x x y y x y n x y b x x x n x 19（ 12 分）在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，已知 1 3AB AC AA ， 4BC ，点 1A 在底面 ABC 的射影恰好是线段 BC 的中点

10、M （ 1）证明：在侧棱 1AA 上存在一点 N ，使得 MN 平面 11BBCC ，并求出 AN 的长； （ 2）求三棱柱 1 1 1ABC ABC 的侧面积 20（ 12 分）已知 1F ， 2F 为椭圆 22: 1( 0 )xyC a b ab 的左右焦点，点 (2,3)P 为其上一点， 且 12| | | | 8PF PF （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若直线 :4l y kx交椭圆 C 于 A ， B 两点，且原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部， 试求 k 的取值范围 21（ 12 分）已知函数 () kf x lnx x ， kR （ 1）若 1k ，求函数 (

11、)fx的单调区间； （ 2）若 1( ) 2 efx x 恒成立，求实数 k 的取值范围； （ 3）设 ( ) ( ) 1kg x f x x ， 1(Ax， 1)y ， 2(Bx ， 2)y 为曲线 ()y gx 上两点，且 120 xx， 设直线 AB 斜率为 k ， 12 0 2xxx ，证明； 0()k gx 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 221 :0C x y x ， 222 : 2 0C x y y （ 1）以过原点的直线的倾斜角 为参数，写出曲线 2C 的参数方程； （

12、 2）直线 l 过原点，且与曲线 1C ， 2C 分别交于 A ， B 两点 (A ， B 不是原点），求 |AB 的 最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知对任意实数 x ，都有 | 2 | | 4 | 0 x x m 恒成立 （ 1）求实数 m 的取值范围； （ 2）若 m 的最大值为 n ，当正实数 a ， b 满足 41 5 3 2 6na b a b 时，求 47ab 的最小值 2019 年陕西省高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求 ) 1（ 5 分）已知集合 | 2 2M x

13、x ， | 1N x x，则 MN为 ( ) A (2,2) B (1, ) C (1,2) D ( 2, ) 【解答】 解： | 2 2M x x ， | 1N x x； | 1 2 (1 , 2 )M N x x 故选： C 2（ 5 分）设复数 z 满足 15 22zi ，则 | | (z ) A 3 B 26 C 4 D 26 2 【解答】 解： 15 22zi ， 1 2 5 2 6| 4 4 2z ， 故选： D 3（ 5 分）已知实数 x ， y 满足约束条件 40 10 xy yx x ，则目标函数 2z x y的最大值为 ( ) A 7 B 6 C 5 D 3 【解答】 解：

14、画出实数 x ， y 满足约束条件 40 10 xy yx x 表示的平面区域如图： 目标函数变形为 2x z y ，则 z 表示直线在 y 轴上截距， 截距越大， z 越大 作出目标函数对应的直线 :2L y x 由 4xy xy 可得 (2,2)B 目标函数 2z x y线过 (2,2)B 时， 直线的纵截距最大， z 取得最大值为 6z ； 故选： B 4（ 5 分）已知命题 p ：对任意 0 x ，总有 sinxx ；命题 q ：直线 1 : 2 1 0l ax y ， 2 : ( 1) 1 0l x a y ，若 12/ll，则 2a 或 1a ；则下列命题中是真命题的是 ( ) A

15、 pq B ( ) ( )pq C ()pq D pq 【解答】 解：命题 p ：对任意 0 x ，总有 sinxx ；为真命题 命题 q ：直线 1 : 2 1 0l ax y ， 2 : ( 1) 1 0l x a y ， 若 12/ll， 则： ( 1) 2 0aa ， 解得： 2a 或 1a ； 当 2a 时两直线重合 故命题 q 为假命题 故： pq 为真命题 故选： D 5（ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则此三棱锥的体 积为 ( ) A 1 3 B 2 3 C 4 3 D 2 【解答】 解：根据三视图可知，该几何体是一个底面等腰直角三角形，高为

16、2 三棱锥，如图， 该三棱锥为 D ABC ， 由三视图尺寸可知： 2AD ，即 2AC ， AB BC ， 则此三棱锥的体积为 1 1 22 1 2 3 2 3V 故选： B 6（ 5 分）如图是计算 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) A 5k B 5k C 5k D 6k 【解答】 解： 算法的功能是计算 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 值，共循环 5 次， 跳出循环体的 n 值为 12， k 值为 6， 判断框内应填的条件是 5k 或 6k 故选： C 7（ 5 分）已知点 (2,8) 在幂函数 ()nf x x 图

17、象上，设 0.51( ) ) 2af ， 0.2(2 )bf ， 2 1(log )2cf ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( ) A bac B abc C c b a D b c a 【解答】 解： 点 (2,8) 在幂函数 ()nf x x 图象上， f （ 2） 28n，解得 3n ， 3()f x x， 0 .5 1 .5 1 .511( ( ) ) ( ) 222af ， 0.2 0.6(2 ) 2bf， 32 1( lo g ) ( 1 ) ( 1 ) 12c f f ， a ， b ， c 的大小关系为 bac 故选： A 8（ 5 分）要得到 sin(2 ) 12y

18、x 的图象，只需将函数 sin2yx 的图象 ( ) A向左平移 6 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 24 个单位 D向右平移 24 个单位 【解答】 解：将函数 sin2yx 的图象向左平移 24 个单位，可得 sin(2 ) 12yx 的图象， 故选： C 9（ 5 分）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的 道教圣地，古代圣哲老子曾在此著道德经五千言景区内有一处景点建筑，是按古典著 作连山易中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同 属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为 ( ) A 2 3 B

19、1 2 C 1 5 D 2 5 【解答】 解：现从五种不同属性的物质中任取两种， 基本事件总数 25 10nC， 取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数 15 5mC， 则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为 51 10 2mp n 故选： B 10（ 5 分）已知抛物线 2 4yx 的准线过双曲线 22 1( 0 , 0 )xy ab ab 的左焦点且与双曲线 交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，且 AOB 的面积为 3 2 ，则双曲线的离心率为 ( ) A 3 2 B 4 C 3 D 2 【解答】 解： 抛物线 2 4yx 的准线方程为 1x ， 双曲线 22 1( 0 ,

20、0 )xy abab 的左焦点为 (1,0) 1x 时，代入双曲线方程，由 221ba ，可得 21 ay a ， AOB 的面积为 32 ， 21 2(1 ) 3122aa ， 12a， 2ce a 故选： D 11（ 5 分）一布袋中装有 n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一 个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正 确的是 ( ) A若 9n ，则甲有必赢的策略 B若 11n ，则乙有必赢的策略 C若 6n ，则乙有必赢的策略 D若 4n ，则甲有必赢的策略 【解答】 解：若 9n ，则甲有必赢的策略， 必赢策略如下： 第一步：甲

21、先抓 1 球， 第二步： 当乙抓 1 球时，甲再抓 3 球时； 当乙抓 2 球时，甲再抓 2 球时； 当乙抓 3 球时，甲再抓 1 球时； 第三步：这时还有 4 个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球， 则布袋中都会剩余 13 个球， 第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜 故选： A 12（ 5 分）已知函数 2,0() ( 1) , 0 xexfx xx ，又函数 2( ) ( ) ( ) 1 ( )g x f x tf x t R 有 4 个不同 的零点，则实数 t 的取值范围是 ( ) A ( , 2) B (2, ) C (2,2) D (2,4) 【解答】 解：令 (

22、) 0gx 得： 2 ( ) ( ) 1 0f x tf x ， 令 ()f x m ，可得： 2 10m tm ， 2 40t ，故 2t 或 2t 2 1 42ttm ， 2 2 42ttm 做出 ()fx的函数图象如图所示： 若 2t ，则 12mm ，显然 1()f x m 不可能有四解，不符合题意； 若 2t ，则 1 0m ， 2 0m ，显然 1()f x m 和 2()f x m 均无解，不符合题意； 若 2t ，则 101m， 2 1m ，显然 1()f x m 有三解， 2()f x m 有 1 解，符合题意 故选： A 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分 ) 13

23、（ 5 分）双曲线 221 9 16xy 的焦点坐标为 (5,0) 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为双曲线 221 9 16xy ， 其中 3a ， 4b ，其焦点在 x 轴上， 则 225c a b ， 则双曲线的焦点坐标为 (5,0) ； 故答案为： (5,0) 14（ 5 分）设函数 32( ) 2 1f x x ax bx 的导函数为 ()fx ，若函数 ()y f x 的图象的顶点 横坐标为 1 2 ，且 f （ 1） 0 则 ab 的值为 9 【解答】 解：（ 1）由 32( ) 2f x x ax bx m ， 得： 2( ) 6 2f x x ax b 则其对称轴为 6a

24、x ， 因为函数 ()y f x 的图象关于直线 1 2x 对称， 所以， 1 62a ，所以 3a 则 2( ) 6 6f x x x b ， 又由 f （ 1） 0 可得， 12b 所以 9ab 故答案为： 9 15（ 5 分）公比为 2 的等比数列 na 的各项都是正数，且 2 12 16aa ，则 2 15log a 6 【解答】 解：公比为 2 的等比数列 na 的各项都是正数，且 2 12 16aa ， 2 12 2 1211( 2 ) 16a q a， 0a ，解得 1 12a 1415 1 ( 2 ) 642a 则 2 15log 6a 故答案为： 6 16（ 5 分）已知集合

25、 (Mx ， )| ( )y y f x ，若对于任意 1(x ， 1)yM ，存在 2(x ， 2)yM ， 使得 1 2 1 2 0 x x y y成立，则称集合 M 是“垂直对点集”给出下列四个集合： ( , ) | s in 1M x y y x 1( , ) | M x y y x ( , ) | 2xM x y y e 2 ( , ) | lo g M x y y x 其中是“垂直对点集”的序号是 【解答】 解： ( , ) | s in 1M x y y x ，对于任意 1(x ， 1)yM ，存在 2(x ， 2)yM ，使 得 1 2 1 2 0 x x y y成立，例如 (

26、0,1) 、 (,0) ，满足“垂直对点集”的定义，所以 M 是“垂直 对点集”； ， 1y x 是以 x ， y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是 90 ，所以在同一支上，任意 1(x ， 1)yM ，不存在 2(x ， 2)yM ，满足“垂直对点集”的定义；在另一支上对任意 1(x ， 1)yM ， 不存在 2(x ， 2)yM ，使得 1 2 1 2 0 x x y y成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是 “垂直对点集” 对于 ( , ) | 2xM x y y e ，如下图黑线的直角始终存在，对于任意 1(x ， 1)yM ，存在 2(x ， 2)yM ，使得 1 2 1 2

27、0 x x y y成立，例如取 (0, 1)M ，则 ( 2,0)Nln ，满足“垂直对点 集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确 ， 2 ( , ) | lo g M x y y x，取点 (1,0) ，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互 相垂直，所以集合 M 不是“垂直对点集” 故正确的是 ， 故答案为： 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 512+10 70分 ) 17（ 12 分）某市规划一 个平面示意图为如图五边形 ABCDE 的一条自行车赛道， ED ， DC ， CB ， BA ， AE 为赛道（不考虑宽度）， BE 为赛道内的一条服务通道， 23B C

28、 D C D E B A E ， 4DE km ， 3BC CD km （ 1）求服务通道 BE 的长度； （ 2）当 4AEB 时，赛道 BA 的长度？ 【解答】 （本题满分为 12 分） 解 ：（ 1 ） 如 图 ， 连 接 BD ，在 BCD 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ： 2 2 2 2 c os 9B D B C CD B C CD B CD ， 3BD BC CD ， 6CDB CBD ， 又 2 3CDE ， 2BDE 在 Rt BDE 中，所以 22 5BE BD DE （ 2）在 BAE 中， 2 3BAE ， 5BE ， 4AEB ， 由正弦定理可得： 2sin sin

29、34BE AB ，可得： 5 3222AB ，可得： 56 3BA ， 当 4AEB 时，赛道 BA 的长度为 56 3 18（ 12 分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 （ 1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 y （单位：百万元）与月份代码 x 之 间的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润； （ 2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 A ， B 两种型号的新型材料 可供选择，按规定每种新型材料最多

30、可使用 4 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的 年限不相同，现对 A ， B 两种型号的新型材料对应的产品各 100 件进行科学模拟测试，得 到两种新型材料使用寿命的频数统计如表： 使用寿命 材料类型 1 个月 2 个月 3 个月 4 个月 总计 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据： 6 1 96ii y ， 6 1 371iii xy 参考公式：回归直线方程为 y bx a，其中 11 2 2 2 11 ( ) ( ) ( ) () nn i i i i ii nn ii ii x x y

31、 y x y n x y b x x x n x 【解答】 解：（ 1）由折线图可知统计数据 (, )xy 共有 6 组，即 (1,11) ， (2,13) ， (3,16) ， (4,15) ， (5,20) ， (6,21) 计算可得 1 2 3 4 5 6 3 .5 6x ， 6 1 119 6 1 666i iyy ， 所以 6 1 6 2 1 ( ) 6 3 7 1 6 3 .5 1 6 21 7 .5 6 ii i i i x y x y b xx ， 1 6 2 3 .5 9a y b x 所以月度利润 x 与月份代码 x 之间的线性回归方程为 29yx， 当 11x 时， 2

32、11 9 31y 故预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为 31 百万元 （ 2） A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为 1 2.35x ， B 型新材料对应的产品的使用 寿命的平均数为 2 2.7x ， 12xx ， 应该采购 B 新新材料 19（ 12 分）在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，已知 1 3AB AC AA ， 4BC ，点 1A 在底面 ABC 的射影恰好是线段 BC 的中点 M （ 1）证明：在侧棱 1AA 上存在一点 N ，使得 MN 平面 11BBCC ，并求出 AN 的长； （ 2）求三棱柱 1 1 1ABC ABC 的侧面积 【解答】 （ 1）证明：连

33、接 AM ，在 1AMA 中，作 1MN AA 于点 N ，因为 11/AA BB ，得 1MN BB ， 因为 1AM 平面 ABC ，所以 1AM BC ，因为 AB AC ， M 为 BC 的中点，得 AM BC ， 所以 BC 平面 1AMA ，所以 BC MN ，所 以 MN 平面 11BBCC ， 又 22 5AM AB BM ， 1 3AA ，由 2 1AM AN AA ，得： 5 3AN （ 2）解：由（ 1）可知 BC 平面 1AMA ，所以 1BC BB ，所以 11BCCB 为矩形，故 11 12BCCBS 矩 形 ； 联结 1AB ， 2211 22A B A M M

34、B ，在 1ABA 中， 1 3AB AA， 1 22AB ，所以 1 14ABAS 因为 11 2 2 1 4ABAABBASS 四 边 形 所以 4 14 12S 侧 20（ 12 分）已知 1F ， 2F 为椭圆 22: 1( 0 )xyC a b ab 的左右焦点，点 (2,3)P 为其上一点， 且 12| | | | 8PF PF （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若直线 :4l y kx交椭圆 C 于 A ， B 两点，且原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部， 试求 k 的取值范围 【解答】 解：（ 1）由题意可得 22491 28aba ，解得 2 16a ， 2

35、12b ， 椭圆的方程为 22116 12xy， （ 2）设 1(Ax， 1)y 、 2(Bx ， 2)y ， 由 22116 12 4 xy y kx 得 22( 4 3 ) 3 2 1 6 0k x kx ， 12 23243kxx k ， 12 21643xx k ， 由 0 ，即 22( 3 2 ) 4 1 6 ( 4 3 ) 0kk ，解得 1 2k 或 1 2k 原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部，则 0OAOB ， 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4 ) ( 4 ) ( 1 ) 4 ( ) 1 6O A O B x x y y x x k x k x

36、k x x k x x 22 2 2 21 6 3 2 1 6 ( 4 3 )( 1 ) 4 1 6 04 3 4 3 4 3kkkkk k k 解得 2 3 2 3 33k 由 解得实数 k 的范围是 23( 3 ， 11)( 22 ， 23) 3 21（ 12 分）已知函数 () kf x lnx x ， kR （ 1）若 1k ，求函数 ()fx的单调区间； （ 2）若 1( ) 2 efx x 恒成立，求实数 k 的取值范围； （ 3）设 ( ) ( ) 1kg x f x x ， 1(Ax， 1)y ， 2(Bx ， 2)y 为曲线 ()y gx 上两点，且 120 xx， 设直线

37、AB 斜率为 k ， 12 0 2xxx ，证明； 0()k gx 【解答】 解：（ 1）当 1k 时，函数 1()f x lnx x ， ( 0)x ， 21()xfx x ， 令 ( ) 0fx，解得： 1x ， 令 ( ) 0fx，解得： 01x， 故 ()fx在 (0,1) 递减，在 (1, ) 递增； （ 2） 1( ) 2 efx x 恒成立， 即 12kelnx xx 恒成立， 整理得： 21k x xlnx e 恒成立， 设 ( ) 2 1h x x xlnx e ， 则 ( ) 1h x lnx ，令 ( ) 0hx，解得： xe ， 故 ()hx 在 (0,)e 递增，在

38、(, )e 递减， 故 ()maxhx h （ e） 1 ， 故 1k ； （ 3） 2 1 2 1 2 1 2 1 y y lnx lnxk x x x x ， 又 12 0 2xxx ，故 00 0 1 2 12( ) ( ) |xxf x lnx x x x ， 要证明 0()k f x ， 即证 21 2 1 1 2 2lnx lnxx x x x ， 不妨设 120 xx，即证 2121 12 2( )xxlnx lnx xx ， 即证 2 21 21 1 2( 1) 1 x xxln xx x ， 设 2 1 1 xt x，即证： 2( 1) 4211tlnt tt ， 也就是要证

39、明： 4 20 1lnt t ，其中 (1, )t ， 事实上：设 4( ) 2 1k t lnt t ， ( (1, )t ， 则 22 2 2 21 4 ( 1 ) 4 ( 1 )( ) 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 )t t tkt t t t t t t ， 故 ()kt 在 (1, ) 递增， 故 ()kt k （ 1） 0 ， 即 0()k g x 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 221 :0C x y x ， 222 : 2 0C x y y （ 1）以过原点的直线的

40、倾斜角 为参数，写出曲线 2C 的参数方程； （ 2）直线 l 过原点，且与曲线 1C ， 2C 分别交于 A ， B 两点 (A ， B 不是原点），求 |AB 的 最大值 【解答】 解：（ 1）如图， 221 :0C x y x ，即 2211() 24xy ， 是以 11(2C ， 0) 为圆心， 1 2 为半径，且过原点的圆， 设 1 (0 )PC x 则 11cos 22 1 sin 2 x y ， 由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则 0 ，而 2 ， 所以圆的参数方程为： 11cos 2 22 ( 1 sin 2 2 x y 为参数，且 0) （ 2）根据已知 1C ， 2C

41、的极坐标方程分别为 cos ， 2sin ( 0) ， 故 12| | | | | 2 s i n c o s | 5 | s i n ( ) | 5AB ，其中 1tan 2 故当 | sin( ) | 1时，等号成立 综上， |AB 的最大值为 5 选修 4-5：不等式选讲 23已知对任意实数 x ，都有 | 2 | | 4 | 0 x x m 恒成立 （ 1）求实数 m 的取值范围； （ 2）若 m 的最大值为 n ，当正实数 a ， b 满足 41 5 3 2 6na b a b 时，求 47ab 的最小值 【解答】 解：（ 1）对任意实数 x ，都有 | 2 | | 4 | 0 x

42、x m 恒成立； 因为 | 2 | | 4 | | ( 2 ) ( 4 ) | 6x x x x ， 所以 6m ，即 6m ， 实数 m 的取值范围是 6m ； （ 2）由（ 1）知 6n ，所以 41 1 5 3 2 6na b a b ， 所以 414 7 ( 4 7 ) ( ) 5 3 2a b a b a b a b 41 ( 5 ) ( 3 2 ) ( )5 3 2a b a b a b a b 4( 3 2 ) 5 4( 3 2 ) 54 1 5 2 95 3 2 5 3 2a b a b a b a ba b a b a b a b ， 当且仅当 5ba ，即 3 13a ， 15 13b 时取“ ”； 所以 47ab 的最小值为 9 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期： 2019/4/5 2 2:39:29；用户： James；邮箱： 153990952 93；学号： 87 96782