2021届高考数学一轮基础过关训练40：空间向量的运算及应用.doc

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1、1.已知三棱锥 O ABC， 点 M， N分别为 AB， OC的中点 ， 且 OA a， OB b， OC c， 用 a， b， c表示 MN ， 则 MN 等于 ( ) A.12(b c a) B.12(a b c) C.12(a b c) D.12(c a b) 解析： 选 D.MN MA AO ON 12(c a b) 2 已知 a (2， 1， 3)， b ( 1， 2， 3)， c (7， 6， )， 若 a， b， c三向量共面 ， 则 ( ) A 9 B 9 C 3 D 3 解析： 选 B.由题意知 c xa yb， 即 (7， 6， ) x(2， 1， 3) y( 1， 2，

2、3)， 所以 2x y 7， x 2y 6， 3x 3y ， 解得 9. 3 在空间四边形 ABCD中 ， AB CD AC DB AD BC ( ) A 1 B 0 C 1 D 不确定 解析： 选 B.如图 ， 令 AB a， AC b， AD c， 则 AB CD AC DB AD BC a( c b) b(a c) c(b a) ac ab ba bc cb ca 0. 4.如图 ， 在大小为 45 的二面角 A EF D中 ， 四边形 ABFE， 四 边形 CDEF都是边长为 1的正方形 ， 则 B， D两点间的距离是 ( ) A. 3 B. 2 C 1 D. 3 2 解析： 选 D.

3、因为 BD BF FE ED ， 所以 |BD |2 |BF |2 |FE |2 |ED |2 2BF FE 2FE ED 2BF ED 1 1 1 2 3 2， 所以 |BD | 3 2. 5 已知 A(1， 0， 0)， B(0， 1， 1)， O为坐 标原点， OA OB 与 OB 的夹角为 120， 则 的值为 ( ) A 66 B. 66 C 66 D 6 解析： 选 C.OA OB (1， ， )， cos 120 1 22 2 12， 得 66 .经检验 66 不合题意 ， 舍去 ， 所以 66 . 6.如图所示 ， 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 ， O为 AC的中点用

4、 AB ， AD ， AA1 表示 OC1 ， 则 OC1 _ 解析： 因为 OC 12AC 12(AB AD )， 所以 OC1 OC CC1 12(AB AD ) AA1 12AB 12AD AA1 . 答案： 12AB 12AD AA1 7.已知 PA 垂直于正方形 ABCD所在的平面 ， M， N分别是 CD， PC 的中点 ， 并且 PA AD 1.在如图所示的空间直角坐标系中 ， 则 MN _ 解析： 连接 PD， 因为 M， N分别为 CD， PC的中点 ， 所以 MN 1 2PD， 又 P(0， 0， 1)， D(0， 1， 0)， 所以 PD 02（ 1） 2 12 2， 所

5、以 MN 22 . 答案： 22 8.如图所示 ， 已知空间四边形 OABC， OB OC， 且 AOB AOC 3 ， 则 cos OA ， BC 的值为 _ 解析： 设 OA a， OB b， OC c， 由已知条件得 a， b a， c 3 ， 且 |b| |c|， OA BC a(c b) ac ab 12|a|c| 12|a|b| 0， 所以 OA BC ， 所以 cos OA ， BC 0. 答案： 0 9 如图 ， 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 ， 底面 ABCD是平行四边形 ， E， F， G分别是 A1D1， D1D， D1C1的中点 (1)试用向量 AB ， AD

6、 ， AA1 表示 AG ； (2)用向量方法证明平面 EFG 平面 AB1C. 解： (1)设 AB a， AD b， AA1 c. 由图得 AG AA1 A1D1 D1G c b 12DC 12a b c 12AB AD AA1 . (2)证明： 由题图 ， 得 AC AB BC a b， EG ED1 D1G 12b 12a 12AC ， 因为 EG与 AC无公共点 ， 所以 EG AC， 因为 EG平面 AB1C， AC平面 AB1C， 所以 EG 平面 AB1C. 又因为 AB1 AB BB1 a c， FG FD1 D1G 12c 12a 12AB1 ， 因为 FG与 AB1无公共

7、点 ， 所以 FG AB1， 因为 FG平面 AB1C， AB1平面 AB1C， 所以 FG 平面 AB1C， 又因为 FG EG G， FG， EG平面 EFG， 所以平面 EFG 平面 AB1C. 10 已知正四面体 ABCD(所有棱长均相等 )的棱长为 1， E， F， G， H分别是四面体 ABCD 中各棱的中点 ， 设 AB a， AC b， AD c， 试采用向量法解决下列问题 (1)求 EF 的模长； (2)求 EF ， GH 的夹角 解： (1)如图所示 ， 正四面体 ABCD的棱长为 1， E， F， G， H分别是四面体 ABCD中各棱的中点 ， AB a， AC b， A

8、D c， 所以 BE 12BC 12(AC AB ) 12(b a)， AF 12AD 12c； 所以 EF EB BA AF 12(b a) a 12c 12(c a b)， 所以 |EF | 12 （ c a b） 2 12 c2 a2 b2 2ac 2ab 2bc 12 1 1 1 2 1 1 cos 60 2 1 1 cos 60 2 1 1 cos 60 22 . (2)正四面体 ABCD中 ， EF 12(c a b)， |EF | 22 ； 同理 ， GH 12(b c a)， |GH | 22 ； 所以 cos EF ， GH EF GH |EF | |GH | 1 2（ c a b） 1 2（ b c a） 2 2 2 2 12(c a)2 b2 12c2 a2 2ca b2 121 1 2 1 1 cos 60 1 0， 所以 EF 与 GH 的夹角为 90 .