2021届高考数学一轮基础过关训练42：证明平行和垂直.doc

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1、1 如图 ， 四边形 ABCD为菱形 ， ABC 120， E， F是平 面 ABCD同一侧的两点 ， BE 平面 ABCD， DF 平面 ABCD， BE 2DF， AE EC. (1)证明：平面 AEC 平面 AFC； (2)求直线 AE与直线 CF所成角的余弦值 解： (1)证明： 如图 ， 连接 BD， 设 BD AC G， 连接 EG， FG， EF. 在菱形 ABCD中 ， 不妨设 GB 1. 由 ABC 120 ， 可得 AG GC 3. 由 BE 平面 ABCD， AB BC， 所以 Rt EAB Rt ECB， 可知 AE EC. 又 AE EC， 所以 EG 3， 且 EG

2、 AC. 在 Rt EBG中 ， 可得 BE 2， 故 DF 22 . 在 Rt FDG中 ， 可得 FG 62 . 在直角梯形 BDFE中 ， 由 BD 2， BE 2， DF 22 ， 可得 EF 3 22 . 从而 EG2 FG2 EF2， 所以 EG FG. 又 AC FG G， 所以 EG 平面 AFC. 因为 EG平面 AEC， 所以平面 AEC 平面 AFC. (2)如图 ， 以 G为坐标原点 ， 分别以 GB ， GC 的方向为 x轴 ， y轴正方向 ， |GB |为单位长度 ， 建立空间直角坐标系 G xyz. 由 (1)可得 A(0， 3， 0)， E(1， 0， 2)，

3、F 1， 0， 22 ， C(0， 3， 0)， 所以 AE (1， 3， 2)， CF 1， 3， 22 . 故 |cos AE ， CF | |AE CF | |AE |CF | 33 . 所以直线 AE与直线 CF所成角的余弦值为 33 . 2 如图 ， 在四棱锥 P ABCD 中 ， 底面 ABCD 是菱形 ， PD 平面 ABCD， PD AD 3， PM 2MD， AN 2NB， DAB 60 . (1)求证：直线 AM 平面 PNC； (2)求二面角 D PC N的余弦值 解： (1)证明： 如图 ， 在 PC上取一点 F， 使 PF 2FC， 连接 MF， NF， 因为 PM

4、2MD， AN 2NB， PF 2FC， 所以 MF DC， MF 23DC， AN DC， AN 23AB 23DC， 所以 MF AN， MF AN， 所以四边形 MFNA为平行四边形 所以 AM FN. 又 FN平面 PNC， AM平面 PNC， 所以直线 AM 平面 PNC. (2)取 AB中点 E， 连接 DE， PE， 因为底面 ABCD是菱形 ， DAB 60 ， 所以 AED 90 . 因为 AB CD， 所以 EDC 90 ， 即 CD DE. 又 PD 平面 ABCD， 所以 CD PD. 又 DE PD D， 所以直线 CD 平面 PDE. 故 DP， DE， DC两两相

5、互垂直 ， 以 D为原点 ， 分别以 DE， DC， DP所在直线为 x轴 ， y 轴 ， z轴 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 则 P(0， 0， 3)， N 3 32 ， 12， 0 ， C(0， 3， 0)， A(3 32 ， 32， 0)， B 3 32 ， 32， 0 ， D(0， 0， 0)， PC (0， 3， 3)， NC 3 32 ， 52， 0 ， 易知平面 PDC的一个法向量 m (1， 0， 0) 设平面 PNC的法向量 n (x1， y1， z1)， 由 nPC 0， nNC 0， 得 3y1 3z1 0， 3 32 x1 52y1 0， 取 n (5， 3 3，

6、3 3) 所以 cos m， n mn|m|n| 579 5 7979 . 故二面角 D PC N的余弦值为 5 7979 . 3 如图 (1)， 在 MBC 中 ， MA 是 BC 边上的高 ， MA 3， AC 4.如图 (2)， 将 MBC 沿 MA 进行翻折 ， 使得二面角 B MA C为 90， 再过点 B 作 BD AC， 连 接 AD， CD， MD， 且 AD 2 3， CAD 30 . (1)求证： CD 平面 MAD； (2)在线段 MD上取一点 E使 ME 13MD ， 求直线 AE与平面 MBD所成角的正弦值 解： (1)证明： 在 ADC 中 ， AC 4， AD 2

7、 3， CAD 30 ， 利用余弦定理可得 CD 2， 所以 CD2 AD2 AC2， 所以 ADC 90 ， 即 CD AD. 因为 MA AB， MA AC， AB AC A， 故 MA 平面 ABDC.因为 CD平面 ABDC， 所以 CD MA. 又 AD MA A， 所以 CD 平面 MAD. (2)由题意可知 ， AM， AB， AC两两垂直 ， BAD 60 .如图 ， 以 A为坐标原点 ， AB， AC， AM所在的直线分别为 x轴 ， y轴 ， z 轴建立空间直角坐标系 ， 则 A(0， 0， 0)， B( 3， 0， 0)， D( 3， 3， 0)， M(0， 0， 3)，

8、 MB ( 3， 0， 3)， BD (0， 3， 0) 设 E(x0， y0， z0)， 由 ME 13MD ， 得 (x0， y0， z0 3) 13( 3， 3， 3)， 得 x0 33 ， y0 1， z0 2， 所以 AE 33 ， 1， 2 . 设平面 MBD的法向量为 n (x， y， z)， 则 n MB ， n BD ， 所以 nMB 0， nBD 0， 即 3x 3z 0，3y 0， 令 x 3， 得其中一个法向量 n ( 3， 0， 1) 设直线 AE与平面 MBD所成的角为 ， 则 sin |cos n， AE | nAE |n|AE | 3 3 8 . 4 如图 ，

9、在四棱锥 P ABCD 中 ， PC 底面 ABCD， ABCD 是直 角梯形 ， AB AD， AB CD， AB 2AD 2CD， E是 PB的中点 (1)求证：平面 EAC 平面 PBC； (2)若二面角 P AC E的余弦值为 63 ， 求直线 PA 与平面 EAC所成 角的正弦值 解： (1)证明： 因为 PC 平面 ABCD， AC平面 ABCD， 所 以 PC AC. 因为 AB 2AD 2CD， 所以 AC BC 2AD 2CD， 所以 AC2 BC2 AB2， 故 AC BC. 又 BC PC C， 所以 AC 平面 PBC. 因为 AC平面 EAC， 所以平面 EAC 平面

10、 PBC. (2)如图 ， 以 C为原点 ， CB ， CA ， CP 的方向分别为 x轴、 y轴、 z轴的正方向 ， 建立空间直角坐标系 ， 并设 CB 2， CP 2a(a0)则 C(0， 0， 0)， A(0， 2， 0)， B(2， 0， 0)， P(0， 0， 2a)， 则 E(1， 0， a)， CA (0， 2， 0)， CP (0， 0， 2a)， CE (1， 0， a)， 易知 m (1， 0， 0)为平面 PAC的一个法向量 设 n (x， y， z)为平 面 EAC的法向量 ， 则 nCA nCE 0， 即 2y 0， x az 0， y 0， 取 x a， 则 z 1

11、， n (a， 0， 1) 依题意 ， |cos m， n | |mn|m|n| aa2 1 63 ， 则 a 2. 于是 n ( 2， 0， 1)， PA (0， 2， 2 2) 设直线 PA 与平面 EAC所成角为 ， 则 sin |cos PA ， n | |PA n| |PA |n| 23 ， 即直线 PA 与平面 EAC所成角的正弦值为 23 . 5 如图 ， 在三棱锥 P ABC中 ， 平面 PAB 平面 ABC， AB 6， BC 2 3， AC 2 6， D， E分别为线段 AB， BC上的点 ， 且 AD 2DB， CE 2EB， PD AC. (1)求证： PD 平 面 A

12、BC； (2)若直线 PA 与平面 ABC所成的角为 4 ， 求平面 PAC与平面 PDE所成的锐二面角 解： (1)证明： 由题意知 AC 2 6， BC 2 3， AB 6， 所以 AC2 BC2 AB2， 所以 ACB 2 ， 所以 cos ABC 2 36 33 . 又易知 BD 2， 所以 CD2 22 (2 3)2 2 2 2 3cos ABC 8， 所以 CD 2 2， 又 AD 4， 所以 CD2 AD2 AC2， 所以 CD AB. 因为平面 PAB 平面 ABC， 交线为 AB， 所以 CD 平面 PAB， 所以 CD PD， 因为 PD AC， AC CD C， 所以 P

13、D 平面 ABC. (2)由 (1)知 PD， CD， AB两两互相垂直 ， 所以可建立如图所示的直角坐标系 D xyz， 因为直线 PA 与平面 ABC所成的角为 4 ， 即 PAD 4 ， 所以 PD AD 4， 则 A(0， 4， 0)， C(2 2， 0， 0)， B(0， 2， 0)， P(0， 0， 4)， 所以 CB ( 2 2， 2， 0)， AC (2 2， 4， 0)， PA (0， 4， 4) 因为 AD 2DB， CE 2EB， 所以 DE AC， 由 (1)知 AC BC， 所以 DE BC， 又 PD 平面 ABC， 所 以 PD BC， 因为 PD DE D， 所以 CB 平面 PDE， 所以 CB ( 2 2， 2， 0)为平面 PDE的一个法向量 设平面 PAC的法向量为 n (x， y， z)， 则 n AC ， n PA ， 所以 2 2x 4y 0， 4y 4z 0， 令 z 1， 得 x 2， y 1， 所以 n ( 2， 1， 1)为平面 PAC的一个法向量 所以 cos n， CB 4 24 12 32 ， 所以平面 PAC与平面 PDE所成的锐二面角的余弦值为 32 ， 故平面 PAC与平面 PDE所成的锐二面角为 30 .