2021届高考数学一轮基础过关训练49：定点、定值、存在性专题.doc

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1、1 已知直线 l与双曲线 x 2 4 y 2 1 相切于点 P， l与双曲线的两条渐近线交于 M， N两点 ， 则 OM ON 的值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 与 P的位置有关 解析： 选 A.依题意 ， 设点 P(x0， y0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 其中 x20 4y20 4， 则直线 l 的方程是 x0 x4 y0y 1， 题中 双曲线的两条渐近线方程为 y 12x. 当 y0 0 时 ， 直线 l的方程是 x 2 或 x 2.由 x 2 x2 4 y 2 0， 得 x 2 y 1 ， 此时 OM ON (2， 1)(2， 1) 4 1 3， 同理可得

2、当直线 l的方程是 x 2 时 ， OM ON 3. 当 y0 0 时 ， 直线 l的方程是 y 14y 0 (x0 x 4)由 y 14y0（ x0 x 4） x2 4 y 2 0 ， 得 (4y20 x20)x2 8x0 x 16 0(*)， 又 x20 4y20 4， 因此 (*)即是 4x2 8x0 x 16 0， x2 2x0 x 4 0， x1x2 4， OM ON x1x2 y1y2 x1x2 14x1x2 34x1x2 3. 综上所述 ， OM ON 3， 故选 A. 2 已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F， ABC的顶点都在抛物线上 ， 且满足 FA FB FC 0

3、， 则 1k AB 1k AC 1k BC _ 解析： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， F p2， 0 ， 由 FA FB FC ， 得 y1 y2 y3 0.因为 kAB y2 y1x 2 x1 2py 1 y2 ， 所以 kAC 2py 1 y3 ， kBC 2py 2 y3 ， 所以 1k AB 1k AC 1k BC y1 y22p y3 y12p y2 y32p 0. 答案： 0 3 设 O为坐标原点 ， 动点 M在椭圆 C： x 2 2 y 2 1 上 ， 过 M作 x轴的垂线 ， 垂足为 N， 点 P满足 NP 2NM . (1)求点 P的轨

4、迹方程； (2)设点 Q 在直线 x 3 上 ， 且 OP PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C 的 左焦点 F. 解： (1)设 P(x， y)， M(x0， y0)， 则 N(x0， 0)， NP (x x0， y)， NM (0， y0) 由 NP 2 NM 得 x0 x， y0 22 y. 因为 M(x0， y0)在 C上 ， 所以 x 2 2 y2 2 1. 因此点 P的轨迹方程为 x2 y2 2. (2)证明： 由题意知 F( 1， 0) 设 Q( 3， t)， P(m， n)， 则 OQ ( 3， t)， PF ( 1 m， n)， OQ PF 3 3m t

5、n， OP (m， n)， PQ ( 3 m， t n) 由 OP PQ 1 得 3m m2 tn n2 1， 又由 (1)知 m2 n2 2， 故 3 3m tn 0. 所以 OQ PF 0， 即 OQ PF .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ， 所以过点 P 且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F. 4 (2019河北 “ 五个一名校联盟 ” 模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知椭圆 C： x 2 4 y 2 1， 点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)是椭圆 C上两个动 点，直线 OP， OQ的斜率分别为 k1， k2， 若 m x12， y1 ， n x22，

6、y2 ， mn 0. (1)求证： k1 k2 14； (2)试探求 OPQ的面积 S是否为定值 ， 并 说明理由 解： (1)证明： 因为 k1， k2存在 ， 所以 x1x2 0， 因为 mn 0， 所以 x1x24 y1y2 0， 所以 k1 k2 y1y2x 1x2 14. (2) 当直线 PQ 的斜率不存在 ， 即 x1 x2， y1 y2时 ， 由 y1y2x 1x2 14， 得 x 2 1 4 y 2 1 0， 又由 P(x1， y1)在椭圆上 ， 得 x 2 1 4 y 2 1 1， 所以 |x1| 2， |y1| 22 ， 所以 S OPQ 12|x1| |y1 y2| 1.

7、 当直线 PQ 的斜率存在 时 ，设直线 PQ的方程为 y kx b(b 0) 由 y kx b， x2 4 y 2 1 得 (4k 2 1)x2 8kbx 4b2 4 0， 64k2b2 4(4k2 1)(4b2 4) 16(4k2 1 b2)0， 所以 x1 x2 8kb4k2 1， x1x2 4b 2 4 4k2 1. 因 为 x1x24 y1y2 0， 所以 x1x24 (kx1 b)(kx2 b) 0， 得 2b2 4k2 1， 满足 0. 所以 S OPQ 12 |b|1 k2|PQ| 12|b| （ x1 x2） 2 4x1x2 2|b| 4k 2 1 b2 4k2 1 1. 所以 OPQ的面积 S为定值