2021届高考数学一轮基础过关训练46：双曲线.doc

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1、1“ k9”是 “ 方程 x 2 25 k y2 k 9 1 表示双曲线 ” 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 选 A.因为方程 x 2 25 k y2 k 9 1 表示双曲线 ， 所以 (25 k)(k 9)0， 所以 k25， 所以 “k0， b0)的离心率为 3， 则其渐近线方程为 ( ) A y 2x B y 3x C y 22 x D y 32 x 解析 ： 选 A.法一 ： 由题意知 ， e ca 3， 所以 c 3a， 所以 b c2 a2 2a， 所以 ba 2， 所以该双曲线的渐近线方程为 y bax 2x，

2、故选 A. 法二 ： 由 e ca 1 ba 2 3， 得 ba 2， 所以该双曲线的渐近线方程为 y bax 2 x， 故选 A. 3已知方程 x 2 m2 n y2 3m2 n 1 表示双曲线 ， 且该双曲线两焦点间的距离为 4， 则 n的取 值范围是 ( ) A ( 1， 3) B ( 1， 3) C (0， 3) D (0， 3) 解析： 选 A.法一： 由题意可知： c2 (m2 n) (3m2 n) 4m2，其中 c为半焦距 ， 所以 2c 2 |2m| 4， 所以 |m| 1， 因为方程 x 2 m2 n y2 3m2 n 1 表示双曲线 ， 所以 (m2 n)(3m2 n)0，

3、 所以 m2n3m2， 所以 1n0， 3m2 n0， m2 n 3m2 n 4， 或 m2 n0， 3m2 n0， b0)的渐近 线相同，且双曲线 C2的焦 距为 4 5， 则 b ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析： 选 B.由题意得 ， ba 2b 2a， C2的焦距 2c 4 5c a2 b2 2 5b 4， 故选 B. 5 过双曲线 x 2 a2 y2 b2 1(a0， b0)的左焦点 F( c， 0)作圆 O： x 2 y2 a2的切线 ， 切点为 E， 延长 FE交双曲线于点 P， 若 E为线段 FP的中点 ， 则双曲线的离心率为 ( ) A. 5 B. 52 C. 5

4、 1 D. 5 12 解析： 选 A.法一： 如图所示 ， 不妨设 E 在 x 轴上方 ， F 为双曲 线的右焦点 ， 连接 OE， PF ， 因为 PF是圆 O的切线 ， 所以 OE PE， 又 E， O分别为 PF， FF 的中点 ， 所以 |OE| 12|PF |， 又 |OE| a， 所以 |PF | 2a， 根据双曲 线的性质 ， |PF| |PF| 2a， 所以 |PF| 4a， 所以 |EF| 2a， 在 Rt OEF 中 ， |OE|2 |EF|2 |OF|2， 即 a2 4a2 c2， 所以 e 5， 故选 A. 法二： 连接 OE， 因为 |OF| c， |OE| a， O

5、E EF， 所以 |EF| b， 设 F为双曲线的右焦点 ， 连接 PF， 因为 O， E分别为线段 FF， FP的中点 ， 所以 |PF| 2b， |PF | 2a， 所以 |PF| |PF| 2a， 所以 b 2a， 所以 e 1 ba 2 5. 6 (2018高考全国卷 )已知双曲线 C： x 2 3 y 2 1， O为坐标原点 ， F为 C的右焦点 ， 过 F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 OMN为直角三角形 ， 则 |MN| ( ) A.32 B 3 C 2 3 D 4 解析 ： 选 B.因为双曲线 x 2 3 y 2 1 的渐近线方程为 y 3 3 x， 所以

6、MON 60 .不妨设过 点 F的直线与直线 y 33 x交于点 M， 由 OMN为直角三角形 ， 不妨设 OMN 90 ， 则 MFO 60 ， 又直线 MN过点 F(2， 0)， 所以直线 MN的方程为 y 3(x 2)， 由 y 3（ x 2） ， y 33 x， 得 x 32， y 32 ， 所以 M 32， 32 ， 所以 |OM| 32 2 32 2 3， 所以 |MN| 3|OM| 3， 故选 B. 7 在平面直角坐标系 xOy中 ， 已知双曲线 C： x 2 a2 y2 b2 1(a0， b0)的离心率为 5， 从双 曲线 C的右焦点 F引渐近线的垂线 ， 垂足为 A， 若 A

7、FO的面积为 1， 则双曲线 C的方程为 ( ) A.x 2 2 y2 8 1 B. x2 4 y 2 1 C.x 2 4 y2 16 1 D x 2 y 2 4 1 解析： 选 D.因为双曲线 C的右焦点 F到渐近线的距离 |FA| b， |OA| a， 所以 ab 2， 又 双曲线 C的离心率为 5， 所以 1 b 2 a2 5， 即 b 2 4a2， 解得 a2 1， b2 4， 所以双曲线 C 的方程为 x2 y 2 4 1， 故选 D. 8 如图 ， F1， F2是双曲线 C： x 2 a2 y2 b2 1(a0， b0)的左、右两个焦点 ， 若直线 y x与双 曲线 C交于 P，

8、Q两点 ， 且四边形 PF1QF2为矩形 ， 则双曲线的离心率为 ( ) A 2 6 B. 2 6 C 2 2 D. 2 2 解析： 选 D.由题意可得 ， 矩形的对角线长相等 ， 将直线 y x代入双曲线 C方程 ， 可得 x a 2b2 b2 a2， 所以 2 a2b2 b2 a2 c， 所以 2a 2b2 c2(b2 a2)， 即 2(e2 1) e4 2e2， 所以 e4 4e2 2 0.因为 e1， 所以 e2 2 2， 所以 e 2 2， 故选 D. 9 过双曲线 C： x 2 a2 y2 b2 1(a 0， b 0)的右焦点 F作圆 x 2 y2 a2的切线 FM(切点为 M)，

9、 交 y轴于点 P， 若 PM 2MF ， 则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 62 C. 3 D 2 解析： 选 B.设 P(0， 3m)， 由 PM 2MF ， 可得点 M的坐标为 23c， m ， 因为 OM PF， 所 以 m2 3c 3m c 1， 所以 m2 29c2， 所以 M 23c， 2c 2 9 ， 由 |OM| 2 |MF|2 |OF|2， |OM| a， |OF| c得 ， a2 c3 2 2c 2 9 c 2， a2 2 3c 2， 所以 e c a 6 2 ， 故选 B. 10双曲线 x 2 a2 y2 b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1，

10、 F2， 过 F1作倾斜角为 30 的 直线 ， 与 y轴和双曲线的右支分别交于 A， B两点 ， 若点 A平分线段 F1B， 则该双曲线的离心 率是 ( ) A. 3 B. 2 C 2 D. 33 解析： 选 A.由题意 可知 F1( c， 0)， 设 A(0， y0)， 因为 A 是 F1B 的中点 ， 所以点 B 的横 坐标为 c， 又点 B 在双曲线的右支上 ， 所以 B c， b 2 a ， 因为直线 F1B 的倾斜角为 30 ， 所以 b2 a 0 c（ c） 3 3 ， 化简整理得 b2 2ac 3 3 ， 又 b 2 c2 a2， 所以 3c2 3a2 2 3ac 0， 两边同

11、时 除以 a2得 3e2 2 3e 3 0， 解得 e 3或 e 33 (舍去 )， 故选 A. 11 已知 M(x0， y0)是双曲线 C： x 2 2 y 2 1 上的一点 ， F 1， F2是双曲线 C的两个焦点若 MF1 MF2 0，则 y0的取值范围是 ( ) A. 33 ， 33 B. 36 ， 36 C. 2 23 ， 2 23 D. 2 33 ， 2 33 解析： 选 A.由题意知 a 2， b 1， c 3， 设 F1( 3， 0)， F2( 3， 0)， 则 MF1 ( 3 x0， y0)， MF2 ( 3 x0， y0) 因为 MF1 MF2 0， 所以 ( 3 x0)(

12、 3 x0) y200， 即 x20 3 y200. 因为点 M(x0， y0)在双曲线 C上 ， 所以 x 2 0 2 y 2 0 1， 即 x 2 0 2 2y 2 0， 所以 2 2y20 3 y200， 所以 33 y00， b0)的左焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A， B两点 ， D为虚轴上的一个端点 ， 且 ABD为钝角三角形 ， 则此双曲线离心率的取值范围为 ( ) A (1， 2) B ( 2， 2 2) C ( 2， 2) D (1， 2) ( 2 2， ) 解析： 选 D.设双曲线： x 2 a2 y2 b2 1(a0， b0)的左焦点为 F1( c， 0)， 令

13、x c， 可得 y b 2 a， 可设 A c， b2a ， B c， b2a . 又设 D(0， b)， 可得 AD c， b b 2 a . AB 0， 2b 2 a ， DB c， b b2 a . 由 ABD为钝角三角形 ， 可得 DAB为钝角或 ADB为钝角 当 DAB为钝角时 ， 可得 AD AB 0， 即为 0 2b 2 a b b2a b， 即有 a2b2 c2 a2.可得 c22a2， 即 e ca1， 可得 1e 2；当 ADB为钝角时 ， 可得 DA DB 0， 即为 c2 b 2 a b b2 a b 0， 由 e c a， 可得 e4 4e2 20.又 e1， 可得

14、e 2 2. 综上可得 ， e的范围为 (1， 2) ( 2 2， )故选 D. 13 若双曲线 x 2 a2 y2 b2 1(a0， b0)的一条渐近线经过点 (3， 4)， 则此双曲线的离心率为 _ 解析： 由双曲线的渐近线过点 (3， 4)知 ba 43， 所 以 b 2 a2 16 9 .又 b 2 c2 a2， 所以 c 2 a2 a2 16 9 ， 即 e2 1 169 ， 所以 e2 259 ， 所以 e 53. 答案： 53 14 双曲线 x 2 a2 y2 b2 1(a 0， b 0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线 ， 点 B为该双曲线 的焦点若正

15、方形 OABC的边长为 2， 则 a _. 解析： 双曲线 x 2 a2 y2 b2 1 的渐近线方程为 y b ax， 由已知可得两条渐近线方程互相垂直 ， 由双曲线的对称性可得 ba 1.又正方形 OABC 的边长为 2， 所以 c 2 2， 所以 a2 b2 c2 (2 2)2， 解得 a 2. 答案： 2 15 已知点 P在双曲线 x 2 a2 y2 b2 1(a0， b0)上 ， PF x轴 (其中 F为双曲线的右焦点 )， 点 P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 13， 则该双曲线的离心率为 _ 解析： 由题意知 F(c， 0)， 由 PF x轴 ， 不妨设点 P在第一象限 ，

16、则 P c， b 2 a ， 双曲线渐 近线的方程为 bxay 0， 由题意 ， 得 b c a b2 a a2 b2 b c a b2 a a2 b2 13， 解得 c 2b， 又 c2 a2 b2， 所以 a 3b， 所以双曲线的离心率 e ca 2b3b 2 33 . 答案： 2 33 16 已知 O为坐标原点 ， 设 F1， F2分别是双曲线 x2 y2 1 的左、右焦点 ， P为双曲线左 支上任一点 ，过点 F1作 F1PF2的平分线的垂线 ， 垂足为 H， 则 |OH| _ 解析： 如图所示 ， 延长 F1H交 PF2于点 Q， 由 PH为 F1PF2的平分线及 PH F1Q， 可知 |PF1| |PQ|， 根据双曲线的定义 ， 得 |PF2| |PF1| 2， 从而 |QF2| 2， 在 F1QF2 中 ， 易知 OH 为中位线 ， 故 |OH| 1. 答案 ： 1