2021届高考数学一轮基础过关训练47：抛物线.doc

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1、1 已知点 A( 2， 3)在抛物线 C： y2 2px(p0)的准线上 ， 记 C 的焦点为 F， 则直线 AF 的斜率为 ( ) A 43 B 1 C 34 D 12 解析： 选 C.由已知 ， 得准线方程为 x 2， 所以 F的坐标为 (2， 0)又 A( 2， 3)， 所以 直线 AF的斜率为 k 3 0 2 2 34. 2 若点 A， B在抛物线 y2 2px(p0)上 ， O是坐标原点 ， 若正三角形 OAB的 面积为 4 3， 则该抛物线方程是 ( ) A y2 2 33 x B y2 3x C y2 2 3x D y2 33 x 解析： 选 A.根据对称性 ， AB x轴 ，

2、由于正三角形的面积是 4 3， 故 34 AB2 4 3， 故 AB 4， 正三角形的高为 2 3， 故可设点 A 的坐标为 (2 3， 2)， 代入抛物线方程得 4 4 3p， 解 得 p 33 ， 故所求抛物线的方程为 y2 2 33 x.故选 A. 3 过抛物线 y2 4x的焦点的直线 l交抛物线于 P(x1， y1)， Q(x2， y2)两点 ， 如果 x1 x2 6， 则 |PQ| ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 解析： 选 B.抛物线 y2 4x的焦点为 F(1， 0)， 准线方程为 x 1.根据题意可得 ， |PQ| |PF| |QF| x1 1 x2 1 x1 x2 2

3、 8.故选 B. 4 过抛物线 C： y2 2px(p 0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A， B 两点 ， 过线段 AB的中点 N且垂直于 l的直线与 C的准线交于点 M， 若 |MN| |AB|， 则 l的斜率为 ( ) A.13 B. 33 C. 32 D 1 解析： 选 B.设抛物线的准线 为 m， 分别过点 A， N， B 作 AA m， NN m， BB m， 垂足分别为 A， N ， B . 因为直线 l过抛物线的焦点 ， 所以 |BB| |BF|， |AA | |AF|. 又 N 是线段 AB 的中点 ， |MN| |AB|， 所以 |NN| 12(|BB

4、| |AA|) 12(|BF| |AF|) 12|AB| 12 |MN|， 所以 MNN 60 ， 则直线 MN 的倾斜角为 120 .又 MN l， 所以直线 l 的倾斜角为 30 ，斜率是 33 .故选 B. 5 已知直线 y k(x 2)(k 0)与抛物线 C： y2 8x相交于 A， B两点 ， F为 C的焦点若 |FA| 2|FB|， 则 k ( ) A.13 B. 23 C.23 D.2 23 解析： 选 D.设抛物线 C： y2 8x的准线为 l， 易知 l： x 2， 直线 y k(x 2)恒过定点 P( 2， 0)， 如图 ， 过 A， B 分别作 AM l于点 M， BN

5、l于点 N， 由 |FA| 2|FB|， 知 |AM| 2|BN|， 所以点 B为线段 AP 的中点 ， 连接 OB， 则 |OB| 12|AF|， 所以 |OB| |BF|， 所以点 B的横坐标为 1， 因为 k 0， 所以点 B的坐标为 (1， 2 2)， 所以 k 2 2 01（ 2） 2 23 .故选 D. 6 抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F， 点 O是坐标原点 ， 过点 O， F的圆与抛物线 C的 准线相切 ， 且该圆的面积为 36， 则抛物线的方程为 _ 解析： 设满足题意的圆的圆心为 M. 根据题意可知圆心 M在抛物线上 ， 又因为圆的面积为 36 ， 所以圆的半

6、径为 6， 则 |MF| xM p2 6， 即 xM 6 p2， 又由题意可知 xM p4， 所以 p4 6 p2， 解得 p 8. 所以抛物线方程为 y2 16x. 答案： y2 16x 7 设抛物线 C： y2 4x的焦点为 F， 过点 ( 2， 0)且斜率为 23的直线与 C交于 M， N两点 ， 则 FM FN _ 解析： 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)由已知可得直线的方程为 y 23(x 2)， 即 x 32y 2， 由 y2 4x， x 32y 2得 y 2 6y 8 0. 由根与系数的关系可得 y1 y2 6， y1y2 8， 所以 x1 x2 32(y1 y2)

7、4 5， x1x2 （ y1y2） 2 16 4， 因为 F(1， 0)， 所以 FM FN (x 1 1)(x2 1) y1y2 x1x2 (x1 x2) 1 y1y2 4 5 1 8 8. 答案： 8 8 (2018高考全国卷 )已知点 M( 1， 1)和抛物线 C： y2 4x， 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C交于 A， B两点若 AMB 90， 则 k _ 解析：法一： 由题意知抛物线的焦点为 (1， 0)， 则过 C 的焦点且斜率为 k的直线方程为 y k(x 1)(k 0)， 由 y k（ x 1） ， y2 4x， 消去 y 得 k 2(x 1)2 4x， 即 k2x2

8、 (2k2 4)x k2 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 2k 2 4 k2 ， x1x2 1.由 y k（ x 1） ， y2 4x， 消去 x得 y 2 4 1 ky 1 ， 即 y2 4ky 4 0， 则 y1 y2 4k， y1y2 4， 由 AMB 90 ， 得 MA MB (x1 1， y1 1)(x2 1， y2 1) x1x2 x1 x2 1 y1y2 (y1 y2) 1 0， 将 x1 x2 2k 2 4 k2 ， x1x2 1 与 y1 y2 4 k， y1y2 4 代入 ， 得 k 2. 法二： 设抛物线的焦点为 F， A(x1， y

9、1)， B(x2， y2)， 则 y21 4x1， y22 4x2， 所以 y 2 1 y 2 2 4(x1 x2)， 则 k y1 y2x 1 x2 4y 1 y2 ， 取 AB 的中 点 M(x0， y0)， 分别过点 A， B 作准线 x 1 的垂线 ， 垂足 分别为 A， B ， 又 AMB 90 ， 点 M 在准线 x 1 上 ， 所以 |MM| 12|AB| 12(|AF| |BF|) 12(|AA| |BB|)又 M为 AB的中点 ， 所以 MM平行于 x轴 ， 且 y0 1， 所以 y1 y2 2， 所以 k 2. 答案： 2 9 已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F，

10、 A是抛物线上横坐标为 4， 且位于 x轴上方的点 ， A到抛物线准线的距离等于 5， 过 A作 AB垂直于 y轴 ， 垂足为 B， OB的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M作 MN FA， 垂足为 N， 求点 N的坐标 解： (1)抛物线 y2 2px的准线为 x p2， 于是 4 p2 5， 所以 p 2. 所以抛物线方程为 y2 4x. (2)因为点 A的坐标是 (4， 4)， 由题意得 B(0， 4)， M(0， 2) 又因为 F(1， 0)，所以 kFA 43， 因为 MN FA， 所以 kMN 34. 又 FA 的方程为 y 43(x 1)， MN 的方程为 y

11、2 34x， 联立 ， 解得 x 85， y 45， 所以点 N的坐标为 85， 45 . 10 已知过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 ， 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x1x2)两点 ， 且 |AB| 9. (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点 ， C为抛物线上一点 ， 若 OC OA OB ， 求 的值 解： (1)由题意得直线 AB的方程为 y 2 2 x p2 ， 与 y2 2px联立 ， 消去 y有 4x2 5px p2 0， 所以 x1 x2 5p4 . 由抛物线定义得 |AB| x1 x2 p 5p4 p 9， 所以 p 4， 从而该抛物线的方程为 y2 8x. (2)由 (1)得 4x2 5px p2 0， 即 x2 5x 4 0， 则 x1 1， x2 4， 于是 y1 2 2， y2 4 2， 从而 A(1， 2 2)， B(4， 4 2)， 设 C(x3， y3)， 则 OC (x3， y3) (1， 2 2) (4， 4 2) (4 1， 4 2 2 2) 又 y23 8x3， 所以 2 2(2 1)2 8(4 1)， 整理得 (2 1)2 4 1， 解得 0 或 2.