2021届高考数学一轮基础过关训练48：最值、范围、证明专题.doc

《2021届高考数学一轮基础过关训练48：最值、范围、证明专题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高考数学一轮基础过关训练48：最值、范围、证明专题.doc（3页珍藏版）》请在口袋文库上搜索。

1、1 如图 ， 抛物线 W： y2 4x与圆 C： (x 1)2 y2 25 交于 A， B两点 ， 点 P为劣弧 AB 上 不同于 A， B 的一个动点 ， 与 x 轴平行的直线 PQ 交抛物线 W 于点 Q， 则 PQC 的周长的取 值范围是 ( ) A (10， 14) B (12， 14) C (10， 12) D (9， 11) 解析： 选 C.抛物线的准线 l： x 1， 焦点 (1， 0)， 由抛物线定义可得 |QC| xQ 1， 圆 (x 1)2 y2 25 的圆心为 C(1， 0)， 半径为 5， 可得 PQC的周长 |QC| |PQ| |PC| xQ 1 (xP xQ) 5

2、6 xP， 由抛物线 y2 4x及圆 (x 1)2 y2 25 可得交点的横坐标为 4， 即有 xP (4， 6)， 可得 6 xP (10， 12)， 故 PQC的周长的取值范围是 (10， 12)故选 C. 2 过抛物线 y2 2px(p 0)的焦点 F， 斜率为 43的直线交抛物线于 A， B两点 ， 若 AF FB ( 1)， 则 的值为 _ 解析： 根据题意设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 AF FB ， 得 p2 x1， y1 x2 p2， y2 ， 故 y1 y2， 即 y1y 2 .设直线 AB 的方程为 y 43 x p2 ， 联立直线 AB 与抛物线方程

3、， 消元 得 y2 32py p2 0.故 y1 y2 32p， y1 y2 p2， （ y1 y2） 2 y1 y2 y1 y2 y2 y1 2 9 4， 即 1 2 94.又 1， 故 4. 答案： 4 3 已知椭圆 C： y 2 a2 x2 b2 1(a b 0)的焦距为 4 且 过点 ( 2， 2) (1)求椭圆 C的方程； (2)过椭圆焦点的直线 l与椭圆 C分别交于点 E， F， 求 OE OF 的取值范围 解： (1)椭圆 C： y 2 a2 x2 b2 1(a b 0)的焦距是 4， 所以焦点坐标是 (0， 2)， (0， 2)， 2a 2 0 2（ 2 2） 2 4 2， 所

4、以 a 2 2， b 2， 即椭圆 C的方程是 y 2 8 x2 4 1. (2)若直线 l垂直于 x轴 ， 则点 E(0， 2 2)， F(0， 2 2)， OE OF 8. 若直线 l不垂直于 x轴 ， 不妨设 l过该椭圆的上焦点 ， 则 l的方程为 y kx 2， 设点 E(x1， y1)， F(x2， y2)， 将直线 l的方程代入椭圆 C的方程得到 (2 k2)x2 4kx 4 0， 则 x1 x2 4k2 k2， x1x2 42 k2， 所以 OE OF x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 2k(x1 x2) 4 4 4k 2 2 k2 8k2 2 k2 4 20 2 k2

5、8， 因为 0 202 k2 10， 所以 8 OE OF 2， 所以 OE OF 的取值范围是 8， 2 4 已知椭圆 C： x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， 以 F1F2为直径的圆与直 线 ax 2by 3ab 0 相切 (1)求椭圆 C的离心率 e； (2)如图 ， 过 F1作直线 l与椭圆分别交于 P， Q两点 ， 若 PQF2的周长为 4 2， 求 F2P F2Q 的最大值 解： (1)由题意知 | 3ab|a2 4b2 c， 则 3a2b2 c2(a2 4b2)， 即 3a2(a2 c2) c2a2 4(a2 c2)， 所以 a2 2c2，

6、所以 e 22 . (2)因为 PQF2的周长为 4 2， 所以 4a 4 2， 即 a 2. 由 (1)知 b2 c2 1， 故椭圆方程为 x 2 2 y 2 1， 且焦点 F 1( 1， 0)， F2(1， 0) 若直线 l的斜率不存在 ， 则可得 l x轴 ， 方程为 x 1， P 1， 22 ， Q 1， 22 ， F2P 2， 22 ， F2Q 2， 22 ， 故 F2P F2Q 72. 若直线 l的斜率存在 ， 设直线 l的方程为 y k(x 1)， 由 y k（ x 1） ， x2 2y2 2 消去 y， 得 (2k 2 1)x2 4k2x 2k2 2 0. 设 P(x1， y1

7、)， Q(x2， y2)， 则 x1 x2 4k 2 2k2 1， x1x2 2k2 2 2k2 1. 所以 F2P F2Q (x1 1， y1)(x2 1， y2) (x1 1)(x2 1) y1y2 (k2 1)x1x2 (k2 1)(x1 x2) k2 1 (k2 1)2k 2 2 2k2 1 (k 2 1) 4k2 2k2 1 k 2 1 7k 2 1 2k2 1 7 2 9 2（ 2k2 1） ， 令 t 2(2k2 1)，则 F2P F2Q 72 9t(t2)， 所以 F2P F2Q 1， 72 . 结合 ， 得 F2P F2Q 1， 72 ， 所以 F2P F2Q 的最大值是 72.