2021届高考数学一轮基础过关训练50：直线与圆锥曲线的位置关系.doc

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1、1 若直线 mx ny 4 与 O： x2 y2 4 没有交点 ， 则过点 P(m， n)的直线与椭圆 x 2 9 y2 4 1 的交点个数是 ( ) A 至多为 1 B 2 C 1 D 0 解析： 选 B.由题意知 ， 4m2 n22， 即 m2 n20， b0)的左、右两个焦点 ， 若直线 y x与双 曲线 C交于 P， Q两点 ， 且四边形 PF1QF2为矩形 ， 则双曲线的离心率 为 ( ) A 2 6 B. 2 6 C 2 2 D. 2 2 解析： 选 D.由题意可得 ， 矩形的对角线长相等 ， 将直线 y x代入双曲线 C 方程 ， 可得 x a 2b2 b2 a2， 所以 2 a

2、2b2 b2 a2 c， 所以 2a 2b2 c2(b2 a2)， 即 2(e2 1) e4 2e2， 所以 e4 4e2 2 0.因为 e1， 所以 e2 2 2， 所以 e 2 2， 故选 D. 4 过双曲线 C： x 2 a2 y2 b2 1(a 0， b 0)的右焦点 F作圆 x 2 y2 a2的切线 FM(切点为 M)， 交 y轴于点 P， 若 PM 2MF ， 则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 62 C. 3 D 2 解析： 选 B.设 P(0， 3m)， 由 PM 2MF ， 可得点 M的坐标为 23c， m ， 因为 OM PF， 所 以 m2 3c 3m c 1，

3、所以 m2 29c2， 所以 M 23c， 2c 2 9 ， 由 |OM| 2 |MF|2 |OF|2， |OM| a， |OF| c得 ， a2 c3 2 2c 2 9 c 2， a2 2 3c 2， 所以 e c a 6 2 ， 故选 B. 5 中心为 (0， 0)， 一个焦点为 F(0， 5 2)的椭圆 ， 截直线 y 3x 2 所得弦中点的横坐标 为 12， 则该椭圆的方程是 ( ) A.2x 2 75 2y2 25 1 B. x2 75 y2 25 1 C.x 2 25 y2 75 1 D. 2x2 25 2y2 75 1 解析： 选 C.c 5 2， 设椭圆方程为 x 2 a2 5

4、0 y2 a2 1， 联立方程 x 2 a2 50 y2 a2 1， y 3x 2， 消去 y， 整 理得 (10a2 450)x2 12(a2 50)x 4(a2 50) a2(a2 50) 0， 由根与系数的关系得 x1 x2 12（ a 2 50） 10a2 450 1， 解得 a 2 75， 所以椭圆方程为 x 2 25 y2 75 1. 6 已知 F1， F2是双曲线 y 2 a2 x2 b2 1(a0， b0)的两个焦点 ， 过其中一个焦点与双曲线的一 条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M， 若点 M在以 线段 F1F2为直径的圆内 ， 则 双曲线离心率的取值范围是 (

5、) A (1， 2) B (2， ) C (1， 2) D ( 2， ) 解析： 选 A.如图 ， 不妨设 F1(0， c)， F2(0， c)， 则过点 F1与渐近线 y abx平行的直线为 y abx c， 联立 ， 得 y abx c， y abx， 解得 x bc2a， y c2， 即 M bc2a， c2 .因点 M在以线段 F1F2为直径的圆 x2 y2 c2内 ， 故 bc2a 2 c 2 2 c2， 化简得 b23a2， 即 c2 a23a2， 解得 ca1， 所以双曲线离 心率的取值范围是 (1， 2)故选 A. 7 直线 m与椭圆 x 2 2 y 2 1 交于 P 1， P

6、2两点 ， 线段 P1P2的中点为 P， 设直线 m的斜率为 k1(k1 0)， 直线 OP的斜率为 k2， 则 k1k2的值为 _ 解析： 由点差法可求出 k1 12 x中y 中 ， 所以 k1 y中x 中 12， 即 k1k2 12. 答案： 12 8 (2019广东广州模拟 )已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1， 0)， 点 F 关于直 线 y 12x的对称点在椭圆 C上 ， 则椭圆 C的方程为 _ 解析： 设椭圆方程为 x 2 a2 y2 b2 1(ab0)， 由题意可知 c 1， 即 a 2 b2 1 ， 设点 F(1， 0) 关于直线 y 12x 的对称点为 (m，

7、n)， 可得 n 0m 1 2 .又因为点 F 与其对称点的中点坐标为 m 1 2 ， n 2 ， 且中点在直线 y 1 2x上 ， 所以有 n 2 1 2 m 1 2 ， 联立 ， 解得 m 35， n 45， 即对称 点为 35， 45 ， 代入椭圆方程可得 925a2 1625b2 1 ， 联立 ， 解得 a2 95， b2 45， 所以椭圆方 程为 5x 2 9 5y2 4 1. 答案： 5x 2 9 5y2 4 1 9 设抛物线 C： y2 4x的焦点为 F， 过点 ( 2， 0)且斜率为 23的直线与 C交于 M， N两点 ， 则 FM FN _ 解析： 设 M(x1， y1)，

8、N(x2， y2)由已知可得直线的方程为 y 23(x 2)， 即 x 32y 2， 由 y2 4x， x 32y 2得 y 2 6y 8 0. 由根与系数的关系可得 y1 y2 6， y1y2 8， 所以 x1 x2 32(y1 y2) 4 5， x1x2 （ y1y2） 2 16 4， 因为 F(1， 0)， 所以 FM FN (x 1 1)(x2 1) y1y2 x1x2 (x1 x2) 1 y1y2 4 5 1 8 8. 答案： 8 10 已知点 M( 1， 1)和抛物线 C： y2 4x， 过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A， B两点若 AMB 90， 则 k _ 解析：法

9、一： 由题意知抛物线的焦点为 (1， 0)， 则过 C 的焦点且斜率为 k的直线方程为 y k(x 1)(k 0)， 由 y k（ x 1） ， y2 4x， 消去 y 得 k 2(x 1)2 4x， 即 k2x2 (2k2 4)x k2 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 2k 2 4 k2 ， x1x2 1.由 y k（ x 1） ， y2 4x， 消去 x得 y 2 4 1 ky 1 ， 即 y2 4ky 4 0， 则 y1 y2 4k， y1y2 4， 由 AMB 90 ， 得 MA MB (x1 1， y1 1)(x2 1， y2 1) x1x2 x

10、1 x2 1 y1y2 (y1 y2) 1 0， 将 x1 x2 2k 2 4 k2 ， x1x2 1 与 y1 y2 4 k， y1y2 4 代入 ， 得 k 2. 法二： 设抛物线的焦点为 F， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y21 4x1， y22 4x2， 所以 y 2 1 y 2 2 4(x1 x2)， 则 k y1 y2x 1 x2 4y 1 y2 ， 取 AB 的中 点 M(x0， y0)， 分别过点 A， B 作准线 x 1 的垂线 ， 垂足 分别为 A， B ， 又 AMB 90 ， 点 M 在准线 x 1 上 ， 所以 |MM| 12|AB| 12(|AF

11、| |BF|) 12(|AA| |BB|)又 M为 AB 的中点 ， 所以 MM平行于 x轴 ， 且 y0 1， 所以 y1 y2 2， 所以 k 2. 答案： 2 11 设 F1， F2分别是椭圆 C： x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右焦点 ， M是 C上一点且 MF2与 x 轴垂直 ， 直线 MF1与 C的另一个交点为 N. (1)若直线 MN的斜率为 34， 求 C的离心率； (2)若直线 MN在 y轴上的截距 为 2， 且 |MN| 5|F1N|， 求 a， b. 解： (1)根据 c a2 b2及题设知 M c， b 2 a ， b2 a 2c 3 4， 2b2 3ac

12、. 将 b2 a2 c2代入 2b2 3ac， 解得 ca 12， ca 2(舍去 ) 故 C的离心率为 12. (2)由题意 ， 原点 O为 F1F2的中点 ， MF2 y轴 ， 所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0， 2)是线段 MF1的中点 ， 故 b 2 a 4， 即 b 2 4a. 由 |MN| 5|F1N|得 |DF1| 2|F1N|. 设 N(x1， y1)， 由题意知 y10)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4， 且位于 x 轴上方的 点 ， A到抛物线准线的距离等于 5， 过 A作 AB垂直于 y轴 ， 垂足为 B， OB的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (

13、2)若过 M作 MN FA， 垂足为 N， 求点 N的坐标 解： (1)抛物线 y2 2px的准线为 x p2， 于是 4 p2 5， 所以 p 2. 所以抛物线方程为 y2 4x. (2)因为点 A的坐标是 (4， 4)， 由题意得 B(0， 4)， M(0， 2) 又因为 F(1， 0)，所以 kFA 43， 因为 MN FA， 所以 kMN 34. 又 FA 的方程为 y 43(x 1)， MN 的方程为 y 2 34x， 联立 ， 解得 x 85， y 45， 所以点 N的坐标为 85， 45 . 14 已知过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 ， 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(

14、x1， y1)， B(x2， y2)(x1x2)两点 ， 且 |AB| 9. (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点 ， C为抛物线上一点 ， 若 OC OA OB ， 求 的值 解： (1)由题意得直线 AB的方程为 y 2 2 x p2 ， 与 y2 2px联立 ， 消去 y有 4x2 5px p2 0， 所以 x1 x2 5p4 . 由抛物线定义得 |AB| x1 x2 p 5p4 p 9， 所以 p 4， 从而该抛物线的方程为 y2 8x. (2)由 (1)得 4x2 5px p2 0， 即 x2 5x 4 0， 则 x1 1， x2 4， 于是 y1 2 2， y2 4 2， 从而 A(1， 2 2)， B(4， 4 2)， 设 C(x3， y3)， 则 OC (x3， y3) (1， 2 2) (4， 4 2) (4 1， 4 2 2 2) 又 y23 8x3， 所以 2 2(2 1)2 8(4 1)， 整理得 (2 1)2 4 1， 解得 0 或 2.