满分之路——导数.pdf

四 j巴 导数 攻兑导数难题这一本就够了 高中数学 M丁付 几j版传媒雌 疚y人队肛肚寸上 三录 第-章三灰函数 第0l讲三次函数单调区间、极值与最值.l 第02讲三次函数根的判定25 第（）3讲三次函数的对称性.31 第04讲三次函数的切线条数.42 第二章指、肘数处理技I5 第01讲对数处理技巧.53 第02讲指数处理技巧.58 第03讲指、对数处理技巧.。66 第三章巨成立求参 第0l讲分类讨论8l 第02讲分离参数.84 第03讲端点效应.l0l 第04讲隐极值点代换ll6 第05讲任意与存在问题.l42 第四章双变量不等式 第0l讲双元不等式证明之主元法.159 第02讲双变量最值l70 第03讲极值点偏移.l77 第04讲韦达定理。.2l5 第五章数歹不等式 导数数列不等式.233 第六章函数零点问题 第0l讲函数零点问题.249 第02讲公切线.270 第-章三次函数 第0讲三次函数单调区间极值与最值 因知识纵横 l.已知三次函数（卯）二卯3b则2c则d（0）. （1）若0则（卯）在（由的）上为增函数; （2）若0则（）在（四1）和（则2的）上为增函数（卯）在（卯l则2）上为减函 bb236623数其中卯l,厕2 33 证明:（卯）3绷22b鳃c4b212c4（b2-3c） （l）当0即b23c0时（卿）0在R上恒成立即（则）在（切酌）为增 函数.函数卯）的图象如图: ） o（川 卯卯0 勺扩 -6（2）当0即b2-3c0时令（厕）0解得卿12 当师变化时（卯）与（卯）的变化情况如下表: 3 勺 卯 卯 （ （卯2,鲍） ） 上 卯 由（ 卯2卯l卯 （）（卯）0卜 刀刀极小值极大值绷）过 满分之路.导数1 函数卿）的图象如图. 0 爪 卯平 Z九卯卯2 综上所述, 三次函数（绷）卯3b卿2C厕（0） （l）若b23c0则j（则）在R上单调递增,元极值; （2）若b23c0则（卿）的增区间为（。匆l）和（卿2。）;减区间为（卯l鳃2） bb23“且卿）在卿卯l处取得极大值在鳃卯2处取得极小值其中厕l 9卯勺 丝3（】 bb23C 3 2.三次函数的区间最值 函数（厕）卿3b匆2C卿（0）则巨m厕若卯0巨m!且（“0）0则 （则）maxmaX（m）肌卯0）肌厕）;（卯）mmminmM（则0）j（）. 2 第-章三次函数 典例剖析 题型l分类讨论求含参函数的单调区间 例l求函数（鞭）狐鞭2咖的单调区间 .解析0 依题意可得（厕）厕22卯m. （l）当4-4矾0即!l时卿22则m0恒成立即（匆）0恒成立所以函数 则）在R上单调递增; （2）当4-4m0即ml时 令（则）绷22卿川0 2叮J7而1I二丽绷22斗4lI二而且卯l卯2解得厕l22 当厕变化时腮（厕）与（卯）的变化情况如下表: 由此得函数（绷）的单调递增区间为（的lI二而）和（1I而。）;单 调递减区间为（1I丽1丽）. 综上可知, 当m1时函数卿）的单调递增区间为R; 当m1时鳃（“）的单调递增区间为（的1丁而）和（lI而四）单调 递咸区间为（1i丽lT而）. 3 卯 （则） 厕） ） 卯 的（ 刀 （卯l卯2） . u （卯2的） 刀 满分之路。导数h满 （例2求函数（鞭）二狐狐带鞭躯的单调区间 .解析D 依题意可得（绷）绷2则1 讨论二次项系数m: （1）当n0时扩（勿）卯l 今（则）0解得加l 所以绷巴（的l）时（卿）0;卯巨（l的）时（绷）0; 故函数（卯）在（的1）上单调递减在（l的）上单调递增. （2）当m0时（卯）m则2卯1l4o 判断导数的根: o当A物0即咐（躯）0幢咸立所以函数f（鳃）在R上单调递增; 誉Al4咖0,即0十时,令（翼）二咖x2濒刊0解得 l14m114m且卯l卯2卯l2m,卯22m 当卯变化时（卯）与（“）的变化情况如下表: 解析 .函数j（瓤）的增区间为（国j严）和（十i尸丽）巢 调间为（丁二4,叫4咖）2m （3）当n0时（则）m厕2则1l4m（） 今（卯）m则2则l0 马 叫挡 l14!114l 卯勺2m2m解得厕l且冗l卯2, 4 （厕） ） 巳 卯 鲍 （ 刀 （卯l绷2） （则2的） .刀 1第章三次函数 当则变化时,（卿）与（卯）的变化情况如下表: （训41豺4顺）;单调递减区间为由此得函数师）的单调递增区间为 栅4们（盎物十.）。,U 综上所述, （盗4豺4砸）,单调逮减区当0时函数（卯）的单调递增区间为 l14m114!）（2”带 2m ） （鳃,间为 当0时函数（卯）的单调递增区间为（l鲍）单调递减区间为（四1）; 雪0时,函数（甄）铺巢调遥增区间为（硬i严）乖 14砸4）2m2m（1叫4砸）;巢调间为 当寸时函数撇）的单调递增区阎为R 5 i x （卯） （卯） （的卿2） 凶 ） 卯 卯【 习 （师l鲍） 】 满分之路.导数l 瞳滓一汁疗迂睡匡匡江祥汗江冗江哇江匡迂绊江肚厅疗岂瓤囊疆整 叁洒囊氢巨匡巨广口江匡丘 例3求函数药）鞭（2咖1）叶嚷的单调区间 解祈 依题意可得（卿）卯22m卯（2-l）（则l）（腮2m1）. 令（则）0解得卯1或则12 比较两根大小: （l）当1-2m即ml时 当卯变化时旷（卯）与（m）的变化情况如下表: （-的l-2m）（l-2m-1）（1的）卯 （狐） 刀刀则） 由此得函数（卿）的单调增区间为（凹l2n）（1切）单调减区间为（l2m -l）. （2）当12n1即ml时旷（“）0恒成立故函数（卯）的单调增区间为R; （3）当1-2m1即加l时 当则变化时旷（厕）与（则）的变化情况如下表: （-。-1）（l2m“）（-11-2）几 （卯） u.刀（虹） 由此得函数（卯）的单调增区间为（鲍-1）（12肌酌）单调减区间为（-l 1-2m）. 综上所述: 当m1时函数（勿）的单调增区间为（“-1）（1-2m鲍）单调减区间为（-l l-2m）; 当m1时函数卯）的单调增区间为R; 当m1时函数（卯）的单调增区间为（的1-2）（-1四）单调减区间为 （1-2m1）. 6 第-章三次函数 例4求函数蜒）二（鹏l）篮2十氮的单调区问 解析 依题意可得（匆）m厕2（m1）卯1（1）（则1） 讨论二次项系数m: （1）当l0时（卯）则1令（厕）则l0解得则1 所以当卯巨（的1）时（卯）（）即（卯）在（的l）上单调递减; 当则匡（1凹）时（卿）0即（卯）在（-1的）上单调递增; （2）当m0时令（则）m厕2（1）厕1（l卿十1）（绷1）0 1解得卿1-1卯,- 下面比较根卯l,卯2的大小: o当m0时卿2厕l 当卯变化时（厕）与（卿）的变化情况如下表: 由此得函数躯）在（函l）（斋,）上单调递减,在（l六）上单调递增; 当m0时 （i）当卯2卯l,即1时旷（卯）0恒成立鳃（卯）在R上单调递增; （li）当卯2见1即0m1时 当绷变化时（则）与（卿）的变化情况如下表: ） 7 冗 （卯） （则） （。,1） M 加 刀 ） 的 讥（ 过 卯 （卯） 狐） （” 刀 （） M （-1的） 刀 满分之路.导数l 函,片）,（l）上单调递增,在（肃,l）上单调递减;由此得函数测）在 寸日目 几 卯当）（ 当卯变化时（卿）与（卯）的变化情况如下表: 1 -1- 的 加 （）（）（-的l） （则） 刀刀（卯） 丛 淘此得,函数蹦）在（鳃,）（斋函）上单调递增在（l贵）上单调递咸 综上所述, 1,）单调递增区间 （ 当0时函数（卯）的单调递减区间为（的,1） 箭）为（ 当0时函数（卿）的单调递减区间为（的l）单调递增区间为（l由）; 二辩卡 【】 加 由（l切）单调递减区间当01时函数（绷）的单调递增区间为 1 ,l m为（） 当n1时函数（卯）的单调递增区间为R; l 由 （）,单调递减区间为当m1时函数（卯）的单调递增区间为（叼1） ,）（ 想 ;寸广锈宁 仕l 虱 浊 8 第章三次函数 例5求函数鳃）酗券（l憋）鳃在厦间（0,函）上的单调区间 解析0 依题意可得（则）（卯1） .最高项系数的讨论: （如l）, （1）当0时扩（则）（撕1）0解得加l 所以当厕e（01）时扩（卯）0（则）在（01）上单调递增; 当卯巴（1的）时（绷）0（卯）在（1的）上单调递减; （2）当0时 今（）（卯l）.（则l）0 解得躯l,憋2宁 。比较两根大小: （2l）当宁-!,卵“-时（蜒）0恒成立,撼）在（0,鹤）上单调递增; （22）当导l,:0时 当则变化时（则）与（卿）的变化情况女口下表: 由此得函数（篮）在（0,l）,（宁鳃）上单调遥增在（l,宁）上单调递减; （23）当宁1印侧时, .导数的根划分定义域 （23）当宁0即“1时, 当加变化时（则）与（绷）的变化情况如下表: 9 卯 （卯） 卯 （01） 刀 （ 的 （ 刃 满分之路.导数l 0,l） （）（l的）叮 （绷） .刀 过则） 由此得,函数躯）在（0罕）,（l,）上单调递增,在（罕,l）上单调递减; （2.3.2）当l二旦0即1时 当缅变化时（则）与（卯）的变化情况如下表: 由此得函数（则）在（1切）上单调递增在（0l）上单调递减; 时 当）（ 当卯变化时旷（卯）与（卯）的变化情况如下表: 由此得函数（则）在（01）上单调递增在（l鲍）上单调递减; 综上所述, 当0时（则）的增区间为（0l）减区间为（1的）; 当0时沁）的增区间为（0,l）（宁）减区间为（ 当-时讽鳃）的增区阎为（0,）; 当l时讽腮）的增区间为（0宁）（l,）减区闷为（ 当1时抓则）的增区间为（1切）减区间为（01）. l-,l ） O 卯 （卯） （则） （0l） M （l的） 卯 （卿） （则） （01） （1由） M 第霉三次函数 因必备知识 应用导数求单调区间的解题步骤 l确定定义域; 2.对函数（卯）的导函数（则）降幂排列（分式通分）并确定最高项系数是否为0及正 负情况; 3.判断导数的根 导函数为二次型（）则2b卯C. 能因式分解,令（则）0求根并比较大小 幅萝删渊（卿）绷2b卯C 4.画出导函数的图象用导数的根划分定义域为若干区间并判断每个区间导数的正负 即原函数增减性和极值（列表） 讨论级别 卯l卯2 0能因式分解;令（厕）0鳃l躯2躯l勉2导数的根划分定义域窒 最高项系数 罐圃式分解到令（M 定义域为时导数的根划分定义域的情况: 觅 训 以 咖儿 （ 一7l 满分之路.导数 叫 上 川 一l 腮叫拙 卯 加 几 州汕 矾 上 注意十述过程分类讨论的书写格式（循环运用） 典例剖析 题型2知单调区间求参数范围 例6若函数（蜒）-狮翼2（l）l在区问（l4）上为减函数,在区间 （6的）上为增函数试求实数的取值范围 .解析】 法:（“）卯2-卯（-l） 今（则）卯2-绷（-l）0解得两根为ll 因为函数（财）在区间（14）上为减函数在区间（6的）上为增函数, 则4l6解得57. 法二:（则）绷2-卿（-1） 因为函数（卯）在区间（l4）上为减函数在区间（6的）上为增函数 （l）0 （4）0 所以（6）0解得57. 勺 2 1第章三次函数 例7若函数（甄）-獭腿2在（; 范围. 在（等,国上存在单调递增区间,求的取值） 。解析0 由题意得扩（则）-卿2厕2 （腮）在（）上存在单调递增区间, （躯）0在（）上有解 卯为轴利寸页勺偷勺卯 卯 ） 卯 （ （腮）x2卯2在（二,团上递减（古） ）（ l解得可 鲍 故的取值范围是（ ） 3 .满分之路.导数 题型3极值点的根系关系 例8已知函数（卯）卿（卯l）（卯）（l）. （l）求导数（卿）并证明（卯）有两个不同的极值点嘶l狐2; （2）若不等式（则l）（厕2）0成立求的取值范围. 解析h （1）（卯）3则22（1）卯. 今（卯）3则22（1）狐0 因为4（21）1所以40 所以（则）0有两个不等实根则l则2不妨设卯l卯2 所以（卯）3（卯卿l）（狐则2） 当加卯l时扩（卯）0; 当厕l卯“2时（则）0; 当卯卯2时扩（卯）0. 因此“l是极大值点,卯2是极小值点. （2）因为（卯l）（卯2）0 即膊缠i（l）（颠财;）（腑1膨2）0 所以（卿l卿2）（卯l卯2）2-3卯l卯2（1）（卯l则2）22绷l卯2（卿l卯2）0. 代入上面不等式并两边同时除以（1） 化简得22-520, 解得;2或十（舍）, 因此当2时不等式（卿l）（卯2）0成立 4 第一章三次函数 7勺 例9已知函数（卿）4则则雀亏则。（腮巨R）在区间上是增函数 （l）求实数的值组成的集合A; （2）设关于x的万程（鹏）2露十;腮的两个非零实根为鳃.露2试问:是否存在实数咖,使 得不等式!2tml则卯2对任意巳A及t巳l1恒成立?若存在, 求m的取值范围;若不存在请说明理由. 。解析 （1）（厕）-2则22绷4 .则）在ll上是增函数 .（则）0对加巨1l恒成立即则2则2（）对卯匡l1恒成立. 设中（卿）2-加2 髓;川肌;i削1: .对卯匡1l只有当l时（1）0或当1时（l）0 .All. 昔0,.法二:卿2卯20对卯巨l1恒成立. 甲（1）120 0, 甲（1）l20 解得l1. .对卿巨l1只有当l时旷（1）0或当1时（1）0 .A11. （2）由4叶酗鳃争-2鳃甄j,解得撼二0或翼“鳃20, 勺 .80 .。.“l卯2是方程觅2-卿-20的两个非零实根, 1l, 5 满分之路导数 么 勺些 卯 卯 卯 卯 P丽勺 卯 卯 斗 兰 ） 卯 卯 （刁 卯 卯 帝丽从 .1l蛇l鳃228a 要使不等式m2tml卿l卯2对任意匡A及巨ll恒成立 当且仅当m么tml3对任意t巨ll恒成立 即肌叁tm20对任意巨11恒成立. 设g（）m2m2mm22 勺 :羔l寅队.2法:mm20对任意t巨l1恒成立白 m2. 所以存在实数使不等式m2ll卯l厕2对任意巨A及巨1l恒成立 其取值范围是o2或m2. 法二:当m0时m2tm20对任意t巨ll显然不成立; 当!0时m2咖20对任意巨ll恒成立.g（l）220.2; 当n0时m2tn20对任意t匡l1恒成立.g（1）!2m20.n2. 综上可知存在实数n使不等式m2ml则l匆2对任意巨A及匡11恒成 立其取值范围是nm2或m2. 6 卜 躁一露三次函数 题型4极值与最值 例10已知函数（卯）l（1）卿卿2则3其中0. （）讨论（绷）在其定义域上的单调性; （2）当卯巳01时求（则）取得最大值和最小值时的卯的值. 。解析0 （l）函数（卯）的定义域为（的由）（卯）12卿3卿2. l耳百万l叮丁万卯l卿2今（匆）0得l卯233 所以（卯）3（卿-厕l）（卯-卯2）. 当卯绷l或卯卯2时扩（绷）0;当卯l厕则2时（卯）0. 故（）在（函,严愈）和（押“,函）上单调递减在 （阿盂伶3）上增33 （2）因为0所以购l0则20. o当卯21时4.由（l）知扩（卯）在01上单调递增. 所以卿）在则0和则1处分别取得最小值和最大值; 当卯2l时04.由（1）知（卯）在0“2上单调递增在卯2l上单调递减 所以（嘶）在卿匆,l43处取得最大值3 又（0）1扩（1）所以当01时扩（“）在则l处取得最小值; 当1时扩（则）在则0处和卯1处同时取得最小值; 当14时（卿）在则0处取得最小值. 综上可知当01时（绷）在卯143处取得最大值在卯l处取得最3 小值; 当二l时扩（则）在匆1阿干百万处取得最大值在筋0和卯l处取得最小值;3 当14时（则）在师143处取得最大值在则0处取得最小值;3 当4时旷（则）在卯l处取得最大值在卯0处取得最小值. 7 满分之路.导数 例1l求函数（加）二卯3肋2卿（A0）在k上的最小值!和最大值M. 解析 法;当隐0时扩（腑）3鳃22脑L其图象开口向上对称轴为硼4,且过（0l） （l）当4k2l24（k徊）（k何）0即旧0时旷（厕）0（卯）在儿片上 单调递增从而当则时肌卯）取得最小值n（k）附当卯儿时（厕）取得最大值 MA）-k3-k3-片-2k3儿 （2）当4k2l24（介旧）（徊）0即八徊时 （厕）3卯22k匆10有两根卯l狮2设卯2卯l !,又对称轴摊二且 所以k卯2卯l0-儿 当卿变化时旷（绷）和（聪）的变化情况如下表: ） 勺且 卯 勺 卯（卯1一）（k,“2） 卯2卯l卯 （绷）00 刀 、迅极小值“）极大值 所以mmin（八）扩（卯l）Mmax（kM（加2）. 因为（财l）（k）鳃A绷獭l（獭1k）（厕l）0, 所以缅）的最小值mk） 因为（膊2）（附）膊;k财;腑2（k.片2k）（卿2胀）（”2附）2k2l0 所以卯）的最大值Mk）2A3A 综上所述当k0时扩（“）的最小值（k）k最大值M（k）2k3k. 法二:当片0时对V卯e片-k都有 （卯）（片）师3绷2卯k3k3A（”21）（卯k）0故j（卿）（） （则）k）则3k则2厕k3k3k（mk）（绷22版2k21）（卿k）（厕内）2 210 故匆）（k）而（k）kQ（）2片3k0. 所以（卯）max（k）2A3片（绷）min（片）k.即l儿M23儿. 宁十 萨卞十引 - 岛;忠! 卜,十 !毛 8 除章三次函数 例12求函数露）二躯2鞭（2侧）x刊在区间2,3上的最大值利最小值 解祈D 由题意得（卯）2卯2-4则2 方程（则）0的判别式为8. （1）当80,即0时（则）0旷（卯）在R上为增函数所以（卯）在区间23上单 调递增,所以巍）在区间2,3上的最小值是（2）-2酗最大值是3）-73“ （2）雪三80即“0时令（雕）二0得x1-孕鳃-带孽 当卯变化时（绷）和（则）的变化情况如下表: ）鲍 丝 卯） 勺叁 卯 卯） 卯 由 九勺 凸卯卯 0（厕）0十 刀M刀（则） 戳鞭）翰单调增区间为（函罕）（粤,带国）;单调减区间为（孕罕） o当02时匆22此时（厕）在区间23上单调递增所以（厕）在区间23上的最 小值是2）-2最大值是3）73勉; 当28时卯l2绷,3此时（卿）在区间（2卿2）上单调递减在区间（卯23）上单 万调递增,所以（躯）在区阎2,3上的最小值是（缠:）厂; 因为（3）（2）等“, 所以当2侧号时（鞭）在区间2,3上的最犬值是（3）二73侧; 当等舰s时,f（鳃）在区间23上的最大值是2）二2 当8时卿l23卯2此时（狮）在区间23上单调递减 所以（x）在区间2,3上的最小值是3）73忽,最大值是（2）2“ 蠕上所述当侧2时沁）在区间2,3上的最小值是;2忽,鼠大值是73侧; 当2徽等时狐甄）在区闸2,3上钩最小值是侧孪最大幢是73; 当芋s咐（鳃）在区阎2,3上的最小值是“竿,最大值是2“; 当8畸扩（瓣）在区间23上的最小值是73侧,最大值是2“ 9 满分之路导数 例13求函数（“）卯2则在区间l2上的最小值. .解析0 设此最小值为m. （1）当l时在区间12上（卯）二卯3卯2 （腮）3绷23（剿;侧）0,撼匡12 则则）是区间12上的增函数,m1）l. （2）当12时在区间12上（卿）匆2卿0由（）0知m二（）0; （3）当侧2时,在区阎1,2上憨）躯2,（躯）3躯2贼3翼卜“） （3.1）若3在区间（12）上（卯）0则（“）是区间12上的增函数m（l） -l。 （12）著2侧3,则l;“2 当1躯“时硼（撼）0,则鞭）是区阎1,上的增函数, 当2时扩（篮）0则（缠）是区阎“,2上的减函数, 因此当23时m（1）l或mj（2）4（2）. （2l）当2侧时,4（侧2）赦刚（2）4（侧2） （322）当;3畸4（2）“l,越腮二川）-1 l-l 0,12, 综上所述所求函数的最小值m4（2）2丁7 l 四 十诌 第章三次函睡 例l4求函数g（卯）则33绷在区间l1上的最大值F（）的解析式. 解析 因为g（卯）则33卯在11上是偶函数故只妥求g（卯）在01上的最大值即可. 今卿）“33卿 （1）当0时扩（则）3卯230所以（如）在01上单调递增且（0）0 g（卯）（狐）F（）（l）13. （2）当0时扩（厕）3则230解得卯l可卯2亿 （2.1）当亿1即l时g（卯）（嘶）（卯）（则）在01上单调递增此时 F（）（1）3-1; （2.2）当0伍1即0l时 当（卿）0即卯而或卿亿时鬼（卯）单调递增; 当（卿）0即万则亿时（卿）单调递减. 所以卯）在0亿上单调递减在伍1上单调递增. （22l）当（1）1侧0,印鹏l时,g（鳃）沁）鞭）,熬）在0伺上 单调递增在万1单调递减此时F（）（J）2亿; （222）当l）1“0,:0时 （）当（亿）司（l）l3侧,即0铡士时（侧）（l）二l3; （）当而）川）l3,:时（）f（云）2亿 1 13丁 综上所述,（铡）2侧伍l, 3-11。 2 路导数l 例15已知函数（卯）卿3加b则巳R其中b巴R. （l）求（卯）的单调区间; （2）若（卯）存在极值点匆0且（甄l）（卯0）其中卯卯0求证:“l2卯00; （3）设0函数g（厕）（则）求证:g（则）在区间l,1上的最大值不小 于士 （1）由（卯）绷3卯b可得（卿）3厕2下面分两种情况讨论: 当0时有（卯）3则20恒成立所以（则）在R上单调递增; 圆蛰倒0时令（鳃）-0解得狮-罕或赚-皿3. 当卿变化时扩（躯）（卯）的变化情况如下表所示: 孕锥” 伍 的 】g万）伍 伍（ 元）（）卯 33 （卯）00 .迅j（卯）极大值极小值 所以（露）翰单调巍减区间为（孪罕）单调递增区间为（醒,字）, 的 伍 ） （2）证明:因为（则）存在极值点所以由（l）知0且卯00. 由题意得（鞭0）二3鳃;“-0,即躯;所以甄o）二冀;勉撼6争0仇 又2绷0）呻2蜒b等02“0b争b（鳃）且2露0腮 由题意及（l）知存在唯一实数则l满足（卯l）（卯0）且卯l卿0因此匆l2卯0 所以卯l2卯00. 22 1第-章三次函数 （3）证明:设g（则）在区间11上的最大值为M下面分三种情况讨论: o当“3时,华11竿 由（1）知（勿）在区间ll上单调递减 所以（卿）在区间1l上的取值范围为（l）（l） 因此Mmax1）,1）maxlblbmaxlb 土调1b 所以M-l62 - 当触3时,2挚1竿竿12笋, （2罕）二（罕）（）（2罕）二（罕）由（1）和（2）知（1） 所以躯）,U上的闺为（孽）川罕） （孽）（罕）-等酝守酝0所以max 皿x鄂耐倾-鄂F肉;炉 厂 o当0时,l2挚芋竿2宁l, 由（）和（2）知抓）（竿）（罕）（）J（孪）-（孕） 所以（卯）在区间1l上的取值范围为（-1）（1） 因此Mmax（l）（1）max1blbmaxlb hl叶b寸、 综上所述.当0时,g（狐）在区间l,l上的鼠大值不小于士 23 满分之路导数【 8卯3则2b卯是否存在实数b使得对任意绷巨-ll均有例6已知函数（则）8卯j则2b卯是否存在实数b使得X （卯）2.若存在求出,6的值;若不存在请说明理由 .解析D 假设存在实数b满足题意 由（l）68旷（l）b8则A1）（l）2 所以22。 同理有b川）-1）82 所以10b6o; 又川）-）, 所以bj（）川）2,则6b2; 由知b6. （l）若02有（1）22不符合题意; （li）若20有（1）22不符合题意 所以0. 当0b6时（厕）8则36卯卯巨l1M（则）2426 令（则）24卯260 1l解得卯l丁卿2可. 当则变化时（则）（则）的变化情况如下表所示: l l丁 l 2 l 2 1 2 l 2（告1）（）（ -ll卯 （则）00 刀（卯）凶刀-2勺-22 所以（“）2恒成立. 综上所述有0b6 24 第章三次函数） 第02讲三次函数根的判定 回知识纵横 若三次函数（卯）购3b卯2C卯（0）则: （1）若b2-3c0则（则）0恰有个实根; （2）若623c0且（厕）.（卿2）0则（嘶）0恰有个实根; （3）若b23c0且（卯l）.（卯2）0则（匆）0有两个不相等的实根; （4）若b23c0且（卯l）.（卯2）0则（卯）0有三个不相等的实根 证明:（卯）3卯22b卯c,4（b23c）令（卿）0设两根为卯l则2且“l则2 （1）（2）（则）0恰有一个实根的充要条件是曲线（卿）与则轴只相交一次 即卿）在R上为单调函数或两极值同号, 所以b23c0或b2-3c0且（绷1）.（绷2）0; （3）（卯）0有两个不相等的实根的充要条件是曲线（则）与则轴有两个公共点且其 中之一为切点所以b23c0且绷l）.则2）0; （4）卯）0有三个不相等的实根的充妥条件是曲线yj（卯）与则轴有三个公共点 即卯）有一个极大值一个极小值且两极值异号 所以b23c0且则l）.购2）0. 由上易得以下结论: 三次函数（“）卯36卿2C卯（0）在m。）上恒正的充要条件是（m）0 （!卯2）或（m）0且（卯2）0（m匆2）. 25 满分之路.导数 C典例剖析 例l7已知函数（卯）卯33则2则2曲线（厕）在点（02）处的切线与则轴交点的横 坐标为-2. （l）求的值; （2）求证:当片1时曲线yj（卯）与直线y脑2只有个交点 解析0 乙卯 为程方线切勺自处） （占在） 卯 线曲 ）（扩 尤 厂 卯 勺） 几 （）（ 7 由题设得二2所以l （2）证明:由（l）知（卯）卯33卯2卯2. 设g（卿）（卿）脉2卯33鳃2（1R）卯4. 由题设知l-0。 当厕0时g（卯）3卿26则1片0g（则）单调递增g（1）八l0g（0）40 所以g（卿）0在（的0上有唯一实根. 当卯0时令h（绷）则33则24则g（卯）l（则）（1-k）卿l（则）. h（卯）3则26则3卿（则-2） 所以h（则）在（02）上单调递减在（2的）上单调递增 所以g（卯）h（厕）h（2）0. 所以g（卯）0在（0的）上没有实根. 综上所述g（加）0在R上有唯一实根 即曲线y则）与直线y肋2只有一个交点. 26 第霉三次函数 卯3（5）卿卯0 竿例l8设巳20已知函数（卯） （1）证明（卯）在区间（1l）上单调递减在区间（1的）上单调递增; （2）设曲线（则）在点Pj（卯j（则t）（j123）处的切线相互平行且卿1厕2卯30证明: 刁 卯 】 卯 冗 解析】 ） 卯 （ 卯 卯 卯 ） 勿 （咙） 卯 （ 卯 ） 】 卯 ） 卯 （内数函设）（ 明证 （“）3厕2（5）由于匡20从而当l卯0时l（绷）3“2（5） 3-50 所以函数i（“）在区间（10上单调递减; oh（则）3卿2（3）则（3虹）（绷1）,由于e20 所以当0卯1时i（卯）0; 当卯1时腮i（“）0. 即函数i（厕）在区间（01）上单调递减在区间（l。）上单调递增. 综合o及片（0）ji（0）可知函数（如）在区间（11）上单调递减在区间（l由） 上单调递增. （2）因为曲线（卯）在点P（卿d（绷j）（l23）处的切线相互乎行从而卯l,则2卯3互 不相等且（绷l）（则2）（腮3） 卯 ） （ 卯 卯 ）句 （丝 卯 ）气 （ 卯 勺打 卯 卯 卯 设妨不 27 满分之路.导数 卯 勺 卯 得牟啸 冗 勺 卯 （） （ 卯 句 勺勺 卯 得可 卯 勺可 卯 而从 设g（则）3则2-（3）绷则g（狮）6则（3） 所以g（蕊）在（0,宁）内单调递减.在（宁内单调递增的 ）（ 吕 则 g（绷2）g（0） 由3獭（5）g（绷2） 2 尸勺 命 卯 卯 卯以所 】 则 日 千 设 因为巳2（） 佰 徊 巳 以所 】 勺 卯 句乙 卯 卯 故-（l）2. 卯 勺 卯 刽 卯 目 28 第一章三次函数 例19设巳Z已知定义在R上的函数（如）2加43卯33卯26厕在区间（l2）内有 个零点“0g（卯）为（卯）的导函数. （1）求g（则）的单调区间; （2）设m巳1则0）（卯02,函数h（卯）g（则）（l卯0）（m）求证: h（m）h（卿0）0; （3）求证;存在大干0的常数A使得对于任意的正整数,q,巨,慈）O（碰0 2椭足蕊圃志 解析0 （1）由（卯）2绷43厕33匆26卿 可得g（卯）（绷）8师392-6卯-6g（师）24则218卿6 令g（嘶）二0l巍狐-士 当购变化时g（卿）g（则）的变化情况如下表: 所以g（躯）的单调增区间是（鳃,l）（鳃）;单调减区间是（l,士） （2）证明:由h（卯）g（卯）（m卿0）-（）得h（m）g（m）（m则0）-（厕）h（则0） g（卯0）（一“0）（l）. 今Hl（“）g（“）（则卯0）（卿）H1（卿）g（则）（匆卯0） 由（1）得当卯巨12时g（卯）0 当卯巳1卯0）时Hl（则）0Hl（卯）单调递减; 当则匡（卯02时Hl（卯）0Hl（则）单调递增; 29 久 g（卯） g（卿） （。-l） 刀 （l,） 过 鲍 斗】 刀 满分之路,导数 所以当嘶巳1师0）（厕02时Hl（绷）Hl（厕0）（卯0）0,可得Hl（n）0 即h（）0. 今H2（卯）g（匆0）（财则0）（则）H2（卯）g（卯0）g（卯）. 由（l）可知g（则）在12上单调递增 故当卯巨1则0）时H2（见）0H2（卿）单调递增; 当则巨（卯02时H勺（绷）0H,（厕）单调递减. 当则巨l,卿0）（卯02时H,（卿）H2（卯0）0H2（m）0h（绷0）0 敌h（!）（“0）0. （3）证明;对于任意晌正整数p9,且匡,瓣）O（慈0,2 令咖-;,函数h（鞭）二g（腮）（,）（厕）, 由（2）知当l巨1则0）时h（匆）在区间（加0）内有零点; 当巨（卯02时l（卯）在区间（卯0m）内有零点 敛h（x）在（l,2）上至少有个零点,不妨设为鳃,则h（蕊）g（露）（蜒0）（）0, 由（l）得g（卯）在l2上单调递增故0g（l）g（卯）g（2）. ）尸川川）川川 2p43p3q-3p2q2-6pq3q4 卯 尸是于 g（师1）g（2）q4g（2） 因为当则匡l2时,g（卯）0故（卿）在l2上单调递增 所以卯）在区间l,2上除绷0外没有其他的零点 嗣氮钦（;）0漏,侧是整数 所以2p43p3q-3p2q2-6pq3q4是正整数从币2p43p3q-3p2q26pq3q4l 所以瓤g（寸） （2）就有鳃lAq4 3O 数第-慧三次函 第03讲三次函数的对称性 因知识纵横 顾数测）b鳃2（0）是中心对称图形,其对称中心是（剃六）,并 且）（躯）在撼光处取得最小值其图象关于直线鳃光对称 ）北 卯 （）句如 （ 北 卯 （ 】 卯 卯 卯 ） 卯 法证光）, （弟）函数闺象关于臆点对称,则（腮）关于点句凹卯）卯（自知易 称对 ）北训北（ （膊）3腮22bc,0萨当聪辛时（聪）取得最小值显然y（则）图象关 于撼竞对称 证法二:设函数（卯）卯3b厕2C卯（0）的对称中心为（l）. 按向量（m）将函数的图象乎移则所得函数y（“）是奇函数 所以（则m）（-绷m）20 化简得:（3b）卿23bo2cld-l0 上匡R恒成立敛30得咖元“刚加2J（荒）b） 弛训北（ 曰正凹 中称对的） （ 卯 卯 卯 ） 卯 数函 以所 证法三:设（厕）的图象关于点（ml）对称任取y（卯）图象上点A（卯y） 则A关于（l!）的对称点A（2m-卯2l-）也在（卯）的图象上 所以2（2m腮）3b（2-卿）2c（2m-卯） 3 满分之路.导数之路 所以”3（6mb）卯2（2加24mbc）缅-（834m262lc2） 6-6m-b,b J- 3 所以cl2n么4mbc （8咖“4:b2,b十2）.鹏（荒） 所以函数（鞭）二蛔b露2鳃带（0）的对称中煌是（金（光） 由上又可得以下结论: y卯）是可导函数 （1）若（卯）的图象关于点（m）对称则（则）的图象关于直线厕对称 证明:（卯）的图象关于（m）对称则（躯）（2l卯）2 lin么瓣）测） z,o卯因为（卯） 所以（2n獭）limd2n腮卿）（2厕卿） 允-则卯 2（卯A卯）2l（厕） lim x-川冗 ）卯 且】且 （卯） 卯冗讥） 所以y（卯）的图象关于直线则m对称. （2）若y（则）的图象关于直线卿m对称则y（卿）的图象关于点（0）对称. 证明:卯）的图象关于直线卵m对称则卯）2n卯） 因为（箍）lim山狐）（则） 工川卯 （2-卯卯）-（2川绷）袒卿A撕）（獭） 4寥山卯所以（2矾-加）limA工-,O ）卯（慰 贝 所以（2l-卯）（卿）0 所以y（卯）的图象关于点（0）对称 32 凸 7 扁 第鬃三次函数 典例剖析 例20已知函数腮）2带枷且（1）0 （1）试用含的代数式表示b并求（卯）的单调区间; （2）令1设函数（卯）在则l则2（卿l卯2）处取得极值记点M（则l（卿1）M卿2 （绷2）P（m（m）卯lm卯2请仔细观察曲线（财）在点P处的切线与线段 MP的位置变化趋势并解答以下问题: （i）若对任意的m巴（t卯2线段MP与曲线（则）均有异于P的公共点 试确定t的最小值并证明你的结论; （）若存在点0（）（卯!）使得线段P0与曲线（卿）有异于P0 的公共点请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）. 。解祈D （l）依题意得（缅）卿22b 由（l）l2b0得b2l. 从雨腿）躯2（2l）躯,敛（篮）（撼1）（l） 令（厕）0解得卯-l或则l-2. o当12l即1时此时有（卯）0恒成立（厕）的单调增区间为R; 当l21即1时 雪 织 国 宣 氓 号 夕广 二 当卯变化时扩（卿）与（卯）的变化情况如下表: 由此得函数（卿）的单调增区间为（由1-2）和（1鲍）单调减区间为（12l） 当121即1时 同理可得函数（则）的单调增区间为（的,1）和（12的）单调减区间为 （-1l2）. 33 几 （卯） （卯） （凹1-2） 汀 （12-l） 汕 （l四） 刀 . 满分之路。导数 综上所述: 当1时,函数（则）的单调增区间为（-的l-2）和（l的）单调减区间为（1 21）; 当1时函数则）的单调增区间为R; 当l时,函数（则）的单调增区间为（由l）和（12的）单调减区间为 （-ll2）. （2）（j）法;由-l得b二2侧3所以f（x）翼箍23鳃令f（慈）-躯2 2卯-30解得厕ll或卯23. 由（l）得（卯）的单调增区间为（酌1）和（3四）单调减区间为（13）所以函数 八鞭）在鳃l蹦二3处取得极值,赦（l,）,M9） 观察（“）的图象（图咯）有如下现象: o当m从1（不含1）变化到3时线段P的斜率与曲线（则）在点P处切线的斜率 j（卿）之差kP-（）的值由正连续变为负. 线段MP与曲线（卿）是否有异于MP的公共点与kMP（厕）的正负有着密切的 关联; kP（）0对应的位置可能是临界点故推测:满足八P（!）0的厕就是所 求的t的最小值下面给出证明并确定t的最小值 曲线（卯）在点P（m矾m）处的切线斜率为（m）l2-203 勺 线段MP的斜率为kMP广-4m53, 当kMP（m）0时解得!1或m2, 直线MP的方程为y2-4m-52-4m3尤3 令g（鳃）（鳃）（刚2j咖5露十4） 当n2时g（卯）卿22卯在（12）上只有一个零点则0,可判断函数g（卯）在（1 0）上单调递增在（02）上单调递减 弘 . 隆慧三次函数第 又g（1）g（2）0 所以g（嘶）在（12）上没有零点即线段MP与曲线（卯）没有异于MP的公共点. 当m巨（23时,g（0）m2了4咖0,g（2）（厕2）20, 所以存在6巨（02使得g（6）0. 即当m匡（23时MP与曲线（卯）有异于P的公共点. 综上,t的最小值为2 法二;陶侧二l得绷）鳃臆23篮,令（鞭）躯22鳃3二0得剿-1,鳃:二1 由（1）得（厕）的单调增区间为（四1）和（3的）单调减区间为（l3）,所以函数 躯）在露l,然,二3处取得极值