阿波罗尼斯圆（习题课）.doc

阿波罗尼斯圆 （习题课） 例 1、 求证：到两 定点的距离 的 比 值是不等于 1 的 常数 的点的轨迹是圆。 证明：如图，设 两定点为 A、 B， |AB|=a，动点为 P，距离的比值为 常数 1 以 AB 为 x 轴、 A 为坐标原 点建立直角坐标系，则 B(a， 0)，设 P(x， y)， 由 |PA|PB| 得： 22 22 xy x a y 22 22 2 221 1 2x y a x a 22 2 22 2 11aaxy 【 结论 】 ：若 |AB|=a，比值是 1 ，则半径 r 21 a 。 例 2、 在平面直角坐标系中， 如图， A 为坐标原点， B(a， 0)( a 0)， 1 为常数。 （ 1）求证 ： 在 x 轴上存在两个点 D、 E，它们到 A、 B 的距离之比 均 等 于 ； （ 2）求证：到 A、 B 的距离之比等于 的点 P 的轨迹是以线段 DE 为直 径的圆。 例 3、 已知定园 圆 O： 222x y r 和 圆 O 外一 定 点 A(a， 0)(其中 ar0)， P 为圆 O 上任意一点， 试问：是 否存在 另一个 定点 B，使得 |PA|PB| ( 1常 数 )恒成立？ 【 结论 】： 例 3、 如图 A(4， 0)为圆 O： 22 4xy 外一点， AC 为圆 O 的切线， C 为切点， CB OA 于 B 点。 （ 1）求 |CA|CB| 的值； （ 2）若 P 为圆 O 上任意一点，求证：比值 |PA|PB| 为定值。 例 4、 如图，圆 C 与 x 轴相切于点 (1,0)T ，与 y 轴正半轴交于 两点 ,AB（ B 在 A 的上方） ，且 2AB （ ）圆 C 的 标准 方程为 ； （ ）过点 A 任作一条直线与圆 22:1O x y相交于 ,MN两点， 下 列三个结论： NA MA NB MB ； 2NB MA NA MB ； 22NB MA NA MB 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） 解： （ 1）易知半径 2r ，所以圆的方程为 221 2 2xy ； （ 2）易知 0 , 2 1 , 0 , 2 1AB，设 ,Pxy 为圆 C 上 任意一点，则 22 22 2 1 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 21 4 2 2 2 2 1 2 2 1 221 x y y yPA PB yyxy ，故正确； 2 1 2 1 2N B M AN A M B ，正确； 2 1 2 1 2 2NB M ANA M B ， 正确。 【注】：阿波罗尼斯圆！过 B 作圆 O 的切线，切点为 C. 由于 22 1 2 1 1O A O B O C ，故 CA OB。 所以 21P A CA O A P B CB O B . 例 5、 如图， A(6,0、 B(0.8， AOB 的内切圆为圆 M， P 是圆 M 上任意一点。 （ 1）求 2 2 2| PA | | PB | | PO | 的最小值； y x O T C N A M B （ 2）求 2| PO | | PA | 的最小值。 解：如图，易知 2PA PG 。 所以 2 2 2 5P A P B P G P B B G 例 6、 在平面直角坐标系 xOy 中，点 03A, ，直线 24l y x： . 设圆 C 的半径为 1，圆心 C 在 l 上 . (1) 若圆心 C 也在直线 1yx 上，过点 A作圆 C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆 上存在点 M，使 | | 2 | |MA MO ，求圆心 的横坐标 a的取值范围 . (（ 1） 3y 或 3 4 12 0xy ；（ 2） ) 例 7、 在 ABC 中， AB=AC， AC 边上的中线 BD=2，则 ABC 的面积的最大值是 。 例 8、 已知 三棱锥 P-ABC， AP平面 ABC， AP=AB=2， AC= 2 BC，则当 三棱锥 P-ABC 的体积取得最大值 时，其外接球的表面积是 。 解：如图， 2AB ，作 BD AB ， DE AD ，且使 2AD BD ， 则 2BD ， 22AD DE。 故点 C 在以 E 为圆心、 22DE 为半径的圆上移动。 m a x 1 2 2 2 2 22ABCS ，此时 三棱锥 的体积最大。 此时 ABC 的外接圆直径 262 6 3 s in 22 23 ACrr B 三棱锥 的外接球半径 2 2 10 2R rAP ，其表面积为 40 。