天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析.doc

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1、 和平区 2017 2018 学年度第一学期高三年级期末质量调查 试卷 数学（文）学科 第 卷（共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 求解二次不等式可得： ， 结合交集的定义可得： . 本题选择 C选项 . 2. “ ” 是 “ 关于 的方程 有实数根 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 关于 的方程 有实数根，则 ， 据此可知：

2、 “ ”是 “关于 的方程 有实数根 ”的充分不必要条件 . 本题选择 A选项 . 3. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ） A. 9 B. 7 C. -3 D. -7 【答案】 B 本题选择 B选项 . 4. 已知直线 为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 结合双曲线的方程可得双曲线的 渐近线为： ， 则双曲线的一条渐近线为： ， 据此有： . 本题选择 D选项 . 点睛 ： 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率 (或离心率的取值范 围 )，常见有两种方法： 求出 a， c，代入公式 ； 只需

3、要根据一个条件得到关于 a， b， c的齐次式，结合 b2 c2 a2转化为 a， c的齐次式， 然后等式 (不等式 )两边分别除以 a或 a2转化为关于 e的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可 得 e(e的取值范围 ) 5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为（ ） A. 56 B. 72 C. 84 D. 90 【答案】 B 【解析】 阅读流程图可得，该流程图的功能为计算： . 本题选择 B选项 . 6. 将函数 的图象向右平移 个单位，得到图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 结合函数平移的结论可得：将函数 的图象向右平移

4、个单位，得到图象 对应的解析式为 . 本题选择 D选项 . 7. 如图，正方形 的边长为 2， 为 的中点， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【 答案】 A 【解析】 以 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则： ， 据此可得： ， 由平面向量数量积的坐标运算法则有： . 本题选择 A选项 . 点睛 ： 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几 何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 8. 已知函数 若始终存在实数 ，使得函数 的零点不唯一， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解

5、析】 当 时， ，则 时 ， 的零点不唯一， 选项 A错误； 当 时， ，则 时， 的零点不唯一，选项 B错误； 当 时， ， 函数在 上单调递增，则不存在实数 ，使得函数 的零点不唯一，选项 D 错误 . 本题选择 C选项 . 点睛 ： 分段函数中求参数范围问题 ： (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求 第 卷（共 110 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9. 已知是虚数单位，则复数 _ 【答案】 【解 析】 结合复数的运算法则有：

6、. 10. 某校高中共有 720 人，其中理科生 480 人，文科生 240 人，现采用分层抽样的方法从中 抽取 90 名学生参加调研，则抽取理科生的人数 _ 【答案】 60 【解析】 由题意结合分层抽样的概念可得： 11. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 _ 【答案】 【解析】 由三视图可得，该几何体是一个组合体， 其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为 2 的菱形，高为 2， 其体积为： ， 下半部分是半 个球，球的半径 ，其体积为 据此可得，该几何体的体积为 . 点睛 ： (1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定

7、直观图的形状以 及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； (2)若所给几何体的体积 不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 12. 已知函数 ，若 ，则 的值为 【答案】 -1 【解析】 函数有意义，则必须满足 ： ，此时 ，则： ， 据此整理函数的解析式： ， 据此可得 ，结合 可得： . 点睛 ： 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题 ： (1)定义域关于原点对称是 函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f( x) f(x)或 f( x) f(x)是定义域上的 恒等式 13. 已知 ，则 的最小值为 _ 【答案】 4

8、 【解析】 由题意可得： ， 当且仅当 时等号成立 . 综上可得： 的最小值为 4. 14. 已知数列 的通项 ，若数列 的前 项和为 ，则 _（用 数字作答） 【答案】 480 【解析】 结合数列的通项公式分组求和有： , 则 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明 、证明过程或 演算步骤） 15. 在 中，角 所对的边分别是 ，且 . （ ）若 ，求 ； （ ）若 ， ，求 的面积 . 【答案】 () ； () . 【解析】 试题分析： ( )由题意结合正弦定理角化边可得 .则 .据此利用余弦定理可得 . ( )由题意可得 .利用同角三角函数基本关系可得 .则

9、 . 据此结合三角形面积公式有 的面积 . 试题解析： （ ）由 及正弦定理，得 . ， . 由余弦定理，得 . （ ）由已知 ， ，得 . 在 中， 为锐角，且 ， . . 由 ， 及公式 ， 的面积 . 16. 某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于 90 为一等品，不小于 80 小于 90 为 二等品，小于 80 为三等品，每件一等品盈利 50 元，每件二等品盈利 30 元，每件三等品亏 损 10 元 .现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各 100 件的检测结果统计如下： 根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率 . （ ）求出甲生产三等品的概率；

10、（ ）求出乙生产一件产品，盈利不小于 30 元的概率； （ ）若甲、乙一天生产产品分别为 30 件和 40 件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少 元 ？ 【答案】 () ； () ； ()2000 元 . 【解析】 试题分析： ( )由题意可得：甲生产三等品的测试指标小于 80， 据此结合古典概型计算公式可得 . ( )由题意可得：乙生产一件产品的测试指标不小于 80， 据此结合古典概型计算公式可得 . ( )由题意结合古典概型计算公式可得甲生产三等品，二等品一等品的件数为 6， 21,3，乙 生产三等品，二等品一等品的件数为 4,24,12，据此估计可得甲、乙两人一天共为企业创收 2000

11、 元 . 试题解析： （ ）依题意，甲生产三等品，即为测试指标小于 80， 所求概率为： . （ ）依题意，乙生产一件产品，盈利不小于 30 元，即为测试指标不小于 80， 所求概率为： . （ ）甲一天生产 30 件产品，其中： 三等品的件数为 ， 二等品的件数为 ， 一等品的件数为 ； 乙一天生产 40 件产品，其中： 三等品的件数为 ， 二等品的件数为 ， 一等品的件数为 . 则 . 估计甲、乙两人一天共为企业创收 2000 元 . 17. 如图，在五面体 中，四边形 是矩形， ， ， ， ， 为 的中点， 为线段 上一点，且 . （ ）求证： 平面 ； （ ）求证： ； （ ）求证：平

12、面 平面 . 【答案 】 () 证明见解析； () 证明见解析； () 证明见解析 . 【解析】 试题分析： (1)连接 交 于 点，则 为 的中点，连接 .由三角形中位线的性质可得 .结合 线面平行的判定定理可得 平面 . (2)连接 .由几何关系可证得四边形 是平行四边形 .则 ， 结合直角三角形的性 质和题意可得 ，则 . (3)由题意可知 为等边三角形，则 .同理可得 .利用线面垂直的判定定理 可得 平面 ，结合面面垂直的判定定理可得平面 平面 . 试题解析： （ ）连接 交 于 点，则 为 的中点，连接 . 在 中， 为 的中点， 为 的中点 . . 平面 ， 平面 ， 平面 . （

13、 ）连接 . 四边形 是矩形， ， ，且 . ， ， ， . ， ， . 四边形 是平行四边形 . ， . 在 中， ， ， ， . 在 中， ， ， ， 是直角三角形 . . . （ ） 在 中， ， 为等边三角形 . 为 的中点， . 同理，由 为等边三角形，可得 . ， 平面 . 平面 ， 平面 平面 . 18. 已知 是等差数列， 是等比数列，其中 ， ， . （ ）求数 列 与 的通项公式； （ ）记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 () ， .() . 【解析】 试题分析： ( )由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为 2，等比数列的公比为 2，据此计算可得 的通项公式 ，

14、的通项公式 . ( )由题意结合 ( )中求得的通项公式可得 .错位相减结合等差数列前 n项和公式 可得 . 试题解析： （ ）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ， 由 ，得 ， ， 由 ， ，得 ， ， . 的通项公式 ， 的通项公式 . （ ）由（ ）可得 ， ， 故 . 则 . 令 ， 则 ， 由 - ，得 . . 点睛 ： 一般地，如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n项和时， 可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，然后作差求解 19. 已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的短轴为直径的圆与直线 相切 . （ ）求椭圆 的方程； （

15、）设椭圆过右焦点 的弦为 、过原点的弦为 ，若 ，求证： 为定值 . 【答案】 () ； () 证明见解析 . 【解析】 试题分析： ( )由题意结合点到直线距离公式可得 .结合离心率计算公式 有 .则 椭圆 的方程为 . ( )对直线的斜率分类讨论：当直线 的斜率不存在时， .当直线 的斜率存在时， 设 ， ， ， ， 联立直线方程与椭圆方程有 ， 由弦长公式可得 .联立直线 与椭圆方程， 结合弦长公式有 .计算可得 .据此可得： 为定值 . 试题解析： （ ）依题意，原点到直线 的距离为 ， 则有 . 由 ，得 . 椭圆 的方程为 . （ ）证明：（ 1）当直线 的斜率不存在时，易求 ，

16、， 则 . （ 2）当直线 的斜率存在时， 设直线 的斜率为 ，依题意 ， 则直线 的方程为 ，直线 的方程为 . 设 ， ， ， ， 由 得 ， 则 ， ， . 由 整理得 ，则 . . . 综合（ 1）（ 2）， 为定值 . 20. 已知函数 ， ，且曲线 与 在 处有相同的切线 . （ ）求实数 的值； （ ）求证： 在 上恒成立； （ ）当 时，求方程 在区间 内实根的个数 . 【答案】 () ； () 证明见解析； ()2. 【解析】 试题分析： ( )函数有相同的切线，则 ， ， 据此计算可得 ； ( )构造函数，令 ， 原问题等价于 在 上恒成 立，讨论函数的单调性可得 ，即 在 上恒成立 . ( )构造函数 ， 其中 ，结合导函数讨论函数的单调性有 .构造函数 ， 则 在 内单调递 减， ， 据此讨论可得 在区间 内有两个零点，即方程 在区间 内实根的个数为 2. 试题解析： （ ） ， ， ， . ， ， ， . ，即 ， . （ ）证明：设 ， . 令 ，则有 . 当 变化时， 的变化情况如下表： ，即 在 上恒成立 . （ ）设 ，其中 ， . 令 ，则有 . 当 变化时， 的变化情况如下表： . ， 设 ，其中 ，则 ， 在 内单调递减， ， ，故 ，而 . 结合函数 的图象，可知 在区间 内有两个零点， 方程 在区间 内实根的个数为 2.