天津市部分区2019届高三上学期期末考试数学（理）试卷 Word版含解析.doc

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1、 天津市部分区 2018 2019 学年度第一学期期末考试 高三数学（理） 第 卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设全集 , , ,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解 . 【详解】 由题意，全集 ， ， ， 则 ，则 ，故选 A. 【点睛】 本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的 运算是解答问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 . 2.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 ( ) A. B. 1 C. -1 D. -3 【

2、答案】 B 【解析】 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移，即可求得目标函数的最大值 . 【详解】 由题意，作出 满足的约束条件 ，对应的平面区域， 如图所示， 由 ，得 ，平移直线 ， 由图象可知当直线 经过点 A 时，此时直线 的截距最大， 此时最大，由 解得 ， 代入目标函数，得 ，即目标函数的最大值为 ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划的应用，其 中 解答中作出约束条件表示的平面区域，利用平移目标函数求解目标函数的最大值是解答的 关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题 . 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出

3、 的值为 ( ) A. 8 B. 4 C. -4 D. -20 【答案】 B 【解析】 【分析】 由题意，执行如图所示的程序框图，逐次计算，即可求得输出的结果，得到答案 . 【详解】 由题意，执行如图所示的程序框图， 第 1 次循环，不满足条件 ； 第 2 次循环，不满足条件 ； 第 3 次循环，不满足条件 ； 第 4 次 循环，满足条件 ，此时输出 ，故选 B. 【点睛】 识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点解决这类问题：首先，要 明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图 解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出

4、结果，完成解 答近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合 4.已知 ， ， ，则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据指数函数与对数函数的图象与 性质，分别求得 的取值范围，即可得到答案 . 【详解】 由题意，根据指数函数的性质，可得 ， 根据对数函数的图形与性质，可得 ， 所以 的大小关系为 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了指数式与对数式的比较大小问题 ， 其中解答中熟记指数函数与对数 函数的图象与性质，求得 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于 基础题 . 5.设 ，则 “ ” 是 “ ” 的

5、( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 【分析】 由题意，因为 “ ” ，则 ，根据必要不充分条件的判定方法，即可得到 答案 . 【详解】 由题意，因为 “ ” ，则 ， 所以 “ ” ，是 “ ” 的必要不充分条件，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了正切函数的性质，以及必要不充分条件的判定问题，其中解答中根 据正切函数的性质，正确求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基 础题 . 6.将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像，则 具有的性质是 ( ) A. 图像关于直线 对称且

6、最大值为 1 B. 图像关于点 对称且周期为 C. 在区间 上单调递增且为偶函数 D. 在 区间 上单调递增且为奇函数 【答案】 A 【解析】 【分析】 由题意，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 ，根据三角 函数的性质，逐一判定，即可得到答案 . 【详解】 由题意，将函数 的图象向左平移 个单位长度后， 得到函数 ， 则当 时， ，所以函数 关于直线 对称，且最大值为 1，所以 A是正 确的；当 时， ，所以 不关于点 对称，所以 B不正 确；当 时，则 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递 增，所以 C不正确；又由 是偶函数，所以 D 不正确，故选 D. 【点睛】 本题主要

7、考查了三角函数的图象变换，以及三 角函数的图象与性质的判定，其中解 答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力，属于基础题 . 7.已知双曲线 的一条渐近线恰好是圆 的切线，且双 曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为 2，则双曲线的方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 求出圆心的坐标，然后根据双曲线的一个焦点到渐近线的距离和渐近线与圆相切，列出方程， 求得 的值，即可求解 . 【详解】 由题意，圆 的圆心 ，半径为 ， 双曲线 的一条渐近线方程为 ，即 ， 因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为 ，即 ，

8、 所以一条渐近线的方程为 又由双曲线的一条渐近线与圆 相切， 则 ，解得 ， 所以双曲线的方程为 ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据焦 点到其渐近线的距离和渐近线与圆相切，列出方程，求得 的值是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题 . 8.如图，圆 是边长为 4的正方形 的内切圆， 是圆 的内接正三角形，若 是 圆 的内接正三角形，若 绕着圆心 旋转，则 的最大值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 分别过点 作直线 ，直线 ，以点 为坐标原点，直线 、所在直线分别为 轴、 轴，建立平面直

9、角坐标系，写出点 、 的坐标，设点 的坐标为 ，从而可得出 点 的坐标，然后将 转化为关于的三角函数，可以利用三角和差角公式以及三角函数 的有界性得出答案 【详解】 解：分别过点 作直线 ，直线 ，以点 为坐标原点，直线 、所在直线 分别为 轴、 轴，建立平面直角坐标系， 则点 、 ，设点 ，则点 ， ， ， 所以， ， 因此 ， 的最大值为 ， 故选： D 【点睛】 本题考查平面向量的数量积，考查平面数量积坐标运算规律，属于中等题 第 卷 二、填空题（将答案填在答题纸上） 9.是虚数单位，复数 _ 【答案】 【解析】 试题分析： . 考点：复数的四则运算 . 10.在 的展开式中， 的系数为

10、 _（用数字作答） 【答案】 240 【解析】 【分析】 由题意，二项式 的展开式的通项为 ，令 ，即可求解 . 【详解】 由题意，二项式 的展开式的通项为 ， 令 ，可得 ，所以 的系数为 . 【点睛】 本题主要考查了二项展开式 的指定项的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通 项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 . 11.已知长方体的长、宽、高分别为 2， 1， 2，则该长方体外接球的表面积为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，长方体的长宽高分别为 ，所以其对角线长为 ，求得球的半径为 ，利用 球的表面积公式，即可求解 . 【详解】 由题意，长方体的

11、长宽高分别为 ，所以其对角线长为 ， 设长方体的外接球的半径为 ，则 ，即 ， 所以球的表面积为 . 【点睛】 本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题 ，其中解答中根据长方体的对角线长 等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础 题 . 12.已知直线： （为参数）与 轴交于点 ，点 是圆 上的任一点， 则 的最大值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由直线的参数为直线的普通方程 ，求得 ，再由圆的方程，求得圆心坐标 为 ，半径 ，利用两点间的距离公式，求得 ，进而得到 的最大值 . 【详解】 由直线 ，可得直线的普通方程 ， 令 ，则 ，即直线与 x

12、 轴的交点坐标 ， 又由圆 的圆心坐标为 ，半径 ， 则 ，所以 的最大值 为 . 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及点与圆的位置关系的应用，其中 解答中把点与圆的最值问题转化为点与圆心之间的距离 求解是解答的关键，着重考查 了转化思想，以及推理与运算能力 . 13.已知 ，二次函数 的值域为 ，则 的最小值 _ 【答案】 1 【解析】 【分析】 由二次函数 的值域为 ，求得 ，且 ， ，再利用基 本不等式，即可求解，得到答案 . 【详解】 由题意，二次函数 的值域为 ， 所以 ，且 ， 因为 ，则 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 即 的最小值为 1,. 【点睛】

13、 本题主要考查了二次函数的性质，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中 熟练应用二次函数的性质，合理应用基本不等式求最值，解答中保证 “ 一正、二定、三相等 ” 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力 . 14.已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则实数的 取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 利用分段函数，求出 的零点，然后在求解 时的零点，即可得到答案 . 【详解】 由题意，函数 ， 当 时，方程 ，可得 ，解得 ，函数由一个零点， 当 时，函数只有一个零点，即 在 上只有一个解 ， 因为函数 开口向上，对称的方程为 ， 所以函数在 为单调递减函数，所以

14、，即 ，解得 ， 即实数的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查了分段函数的零点的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中 解答中把函数的零点问题转化为二次函数问题，借助二次函数的图象与性质求解是解答的关 键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力 . 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15.在 中， . （ 1）求角 的大小； （ 2）求 的取值范围。 【答案】 （ 1） ；（ 2） 【解析】 【分析】 （ 1）由正弦定理， 求得 ，再由余弦定理，求得 ，即可求解 的大小； （ 2）由（ 1）知，得 ，化简 ，根据三角 函数的图象与性质，即可求解 . 【详解】 （

15、1）因为 , 由正弦定理 ，得 ， 由余弦定理 ， 又因为 ，所以 （ 2）由（ 1）知， ， 所以 ， 所以 因为 ，所以 故 所以 的取值范围为 【点睛】 本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，以及三角函数的图象与性质的应用， 其中解答中合理应用正弦定理与余弦定理和三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重 考查了推理与运算能力，属 于基础题 . 16.4月 23日是 “ 世界读书日 ” ，天津市某中学开展了一系列的读书教育活动。学校为了解 高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每 名学生只能参加一个读书小组）学生抽取 10名学生参加问卷调查。各组

16、人数统计如下： 小组 甲 乙 丙 丁 人数 12 16 8 4 （ 1）从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取 2人，求这 2人来自同一个小组的概率； （ 2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取 2人，用 表示抽得甲组学生的人数， 求随机变量 的分布列和数学期望。 【答案】 （ 1） ；（ 2）见解析 【解析】 【分析】 （ 1）由题设可得问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 3,4,2,1（人），求得从参加问卷 调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有 种，再得抽取的两名学生来自同一小组的取 法共有 种，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解 . （ 2）由（ 1）知，抽取的两

17、人中是甲组的学生的人数 的可能取值为 0,1,2，分别求解其概 率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解 . 【详解】 （ 1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 3,4,2,1（人）， 从参加问卷调查的 10 名学生中 随机抽取两名的取法共有 （种）， 抽取的两名学生来自同一小组的取法共有 （种）， 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为 （ 2）由（ 1）知，在参加问卷调查的 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 3 人、 2 人， 所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数 的可能取值为 0,1,2 所以 ， ， 所以 的分布列为 所求 的期望 . 【点睛】 本题主要考

18、查了古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列与求解数学期望， 其中解答中认真审题，根据古典概型及其概率的计算公式，准确求解其对应的概率是解答的 关 键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 . 17.如图，三棱柱 , 平面 , , , 为 的中点。 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）若 ，求二面角 的余弦值； （ 3）若点 在线段 上，且 平面 ,确定点 的位置并求线段 的长。 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） ；（ 3）见解析 【解析】 【分析】 （ 1）连接 ，交 于点 ，点 为 的中点， 为 的中点，求得 ，利用线面 平行的判定定理，即可得到 平面 . （ 2）以 为原点

19、，分别以 的方向为 轴、 轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 求得平面 H和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解 . （ 3）设 ，根据 平面 ，列出方程组，即可求解 . 【详解】 （ 1）连接 ，交 于点 ，则点 为 的中点， 因为 为 的中点，所以 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （ 2）因为 平面 ， ， 所以 平面 ，又 故以 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、轴的正方向 建立空间直角坐标系， 则 ， 所以 设平面 的法向量为 ， 则有 即 令 ，则得 . 又平面 的法向量为 ，且二面角 为锐角， 故二面角 的余弦值为 （ 3）设 因为 ，所以 ， . 又 , ,

20、平面 ， 所以 解得 所以 ，且点 在线段 的三等分点处，即 【点睛】 本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空 间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平 面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成 .同时对于立体几何中角的计算问题，往 往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解 . 18.已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，且 ， ， ， 。 （ 1）求 和 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】 （ 1） ；（ 2） 【解析】 【分析】 （ 1）设等比数列 的公比为

21、，等差数列 的公差为 ，列出方程组，求得 的值， 即可得到数列的通项公式； （ 2）由（ 1）得 ， 利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和 . 【详解】 （ 1）设等比数列 的公比为 ，等差数列 的公差为 ， 依题意有 ，即 ， 解得 或 （舍） ， 数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 （ 2）由（ 1）得 ， = ， - 得 【点睛】 本题主要考查等 差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的 “错位相减法 ”， 此类题目是数列问题中的常见题型 ， 对考生计算能力要求较高 ， 解答中确定通项公式是基础， 准确计算求和是关键，易错点是在 “错位 ”之后求和时，弄错等比数列的项数 ，

22、能较好的考查 考生的逻辑思维能力及基本计算能力等 . 19.已知椭圆 ： 的焦距为 8，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正 三角形。 （ 1）求 的方程； （ 2）设 为 的左焦点， 为直线 上任意一点，过点 作 的垂线交 于两点 , . （ i）证明： 平分线段 （其中 为坐标原点）； （ ii）当 取最小值 时，求点 的坐标。 【答案】 （ 1） ；（ 2）见解析 【解析】 【分析】 （ 1）由已知，根据椭圆的焦距为 8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形，求 得 的值，即可求得椭圆的方程； （ 2）（ ）设点 的坐标为 ，验证当 时， 平分 显然成立；当 由直线 的方程和椭圆

23、的方程联立方程组，求解 中点 的坐标，即可得到结论； （ ）由（ ）可知，求得 和 ，得到 ，利用基本不等式，即可求解 . 【详解】 （ 1）由已知，得 . 因为 ， 易解得 . 所以，所求椭圆 的标准方程为 （ 2） 设点 的坐标为 当 时， 与 轴垂直 为 的中点 平分 显然成立 当 由已知可得： 则直线 的方程为： 设 消去 得： ， 中点 的坐标为 又 在直线 上 . 综上 平分线段 当 时， 则 当 时，由 可知 (当且仅当 ，即 时等号成立 )， 点 的坐标为 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题 , 解答此类题目，通常利用 的关系，确

24、定椭圆 ， 通过联立直线方程与椭圆方程的方程组， 应用一元二次方程根与系数的关系，得到 “目标函数 ”的解析式，此类问题易错点是复杂式子 的变形能力不足，导致错解，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析 问题解决问题的能力等 . 20.已知函数 ，其中 . （ 1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （ 2）记 的导函数为 ，若不等式 在区间 上恒成立，求的取值范围； （ 3）设函数 ， 是函数 的导函数，若 存在两个极值点 ， ，且满 足 ，求实数的取值范围 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 【分析】 （ ）当 时， ，（ 1） ，可得 （ 1） 利用 点斜式即可

25、得出切线方程 （ ） ， 不等式 ，化为： 令 在 上恒成立， （ 1） 可得 在 上恒成立，化为： 即可得出 （ ）根据 可得 和 关于 x的函数表达式，根据 存在两个极值点 ， ，可得 =0 在 上有两个不等实数根 ， 因此 ，得出 a的取值范围并根据 ， 满足 ，代入简化，利用导数研究其单调性即可得出结果 【详解】 解：（ ）当 时， ，（ 1） ， （ 1） 曲线 在点（ 1, ）处的切线方程为： ，化为： （ ） ， 不等式 ，即 ，化为： 令 在 上恒成立， （ 1） 在 上恒成立， 化为： 的取值范围是 （ ）设函数 ， ， 存在两个极值点 ， ， 在 上有两个不等实数根 ， 因此 ，且 ， 解得 ， ，满足 ， 化为： ， 化为： ， 令 （ a） ， ， （ 1） ， （ a）在 上单调递增， 实数的取值范围是 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式 的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题