专题122——最深度极值点偏移深度研究.doc

微信公众号 专题 122 最深度 极值点偏移深度研究 目录 专题 01 极值点偏移概念 . 2 专题 02 极值点偏移问题判定定理 6 专题 03 不含 参数的极值点偏移问题 . 14 专题 04 含参数的极值点偏移问题 21 专题 05 含对数式的极值点偏移问题 . 37 专题 06 含指数式 的极值点偏移问题 . 46 专题 07 极值点偏移问题的函数选取 . 56 专题 08 极值点偏移的终极套路 85 教师成长 QQ 群： 545423319 关注微信公众号 其他专题更加精彩 中学数 学研讨部落， . 专题 01 极值点偏移 概念 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数 )(xf 满足定义域内任意自变量 x 都有 )2()( xmfxf ，则函数 )(xf 关于直线 mx 对称；可以理解为函数 )(xf 在对称轴两侧，函数值 变化快慢相同，且若 )(xf 为单 峰函数，则 mx 必为 )(xf 的极值点 . 如二次函数 )(xf 的顶点就是极值点 0x ，若 cxf )( 的两根的中点为 2 21 xx ，则刚好有 021 2 xxx ，即极值 点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移 . 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数 )(xf 的极值点为 m ，且函数 )(xf 满足定义域内 mx 左侧的任意自变量 x 都有 )2()( xmfxf 或 )2()( xmfxf ，则函数 )(xf 极值点 m 左右侧变化快慢 不同 . 故单峰函数 )(xf 定义域内任意不同的实数 21,xx 满足 )()( 21 xfxf ，则 2 21 xx 与极值点 m 必有确定 的 大小关系： 若 2 21 xxm ，则称为极值点 左偏 ；若 2 21 xxm ，则称为极值点 右偏 .来源 :学 _科 _网 Z_X_X_K 如函数 xexxg )( 的极值点 10x 刚好在方程 cxg )( 的 两根中点 2 21 xx 的左边，我们称之为 极值点左偏 . . 二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数 )(xf 存在两个零点 21,xx 且 21 xx ，求证： 021 2xxx （ 0x 为函数 )(xf 的极值点）； 2. 若函数 )(xf 中存在 21,xx 且 21 xx 满足 )()( 21 xfxf ，求证： 021 2xxx （ 0x 为函数 )(xf 的极值 点）； 3. 若函数 )(xf 存在两 个零点 21,xx 且 21 xx ，令 2 21 0 xxx ，求证： 0)( 0 xf ； 4. 若函数 )(xf 中存在 21,xx 且 21 xx 满足 )()( 21 xfxf ，令 2 21 0 xxx ，求证： 0)( 0 xf . 三、问题初 现，形神合聚 函数 xaexxxf 12)( 2 有两极值点 21,xx ，且 21 xx . 证明： 421 xx . . 所以 )2()2( xhxh ， 所以 )4()2(2)2(2)()( 22221 xhxhxhxhxh ， 因为 21x ， 24 2 x ， )(xh 在 )2,( 上单调递减 所以 21 4 xx ， 即 421 xx .学科 当 0a 时 , fx有极小值 ln lnf a a a a ;(2)详见 解析 . 学科 （ 2）见 解析 . 学科 （ 2）见解析 .来源 :学科网 ZXXK 【解析】试题 分析：（ 1） 2 xf x ax e在 0, 上有两个零点等价于方程 2 xea x 有两个根，即 ya 与 2 xey x 有两个交点，研究函数 2 xey x 单调性，结合数形结合可得结果；（ 2） 121 xax e ， 222 xax e ，两式 相除可得 21 2 2 1 xxx ex ，设 2 1 ( 1) x ttx ，只需证明 ln ln 2 2 0h t t t t t 即可 . 试题解析：（ 1） 2 xf x ax e在 0, 上有两个零点， 方程 2 xea x ，则 3 2 xexhx x ，于是 0,2x 时， 0hx ，即 hx在 0,2 上单调递减；当 2,x 时， 0hx ，即 hx在 2, . 【方 法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值、不等式恒成立问题以及不等式证明问题，属 于 难题 .对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的 不等式，另一端是一个区间上具体的函数 , 这样就把问题转化为一端是函数 , 另一端是参数的不等式，便于 问题的解决 . 但要注意分离参数法不是万能的 , 如果分离参数后 ,得出的函数解析式较为复杂 , 性质很难研究 , 就不要使 用分离参数法 . 已知函数 211 xxf x ex . (1)求 fx的单调区间； (2)证明 :当 1 2 1 2f x f x x x时， 120xx. 【解析】 (1) fx在 ,0 上单调递增，在 0, 上单调递减； (2)由 (1)知当 x 时， 0fx . 不妨设 12xx ，因为 12f x f x ，即 12122211xxxxee ，则 1201xx ， 要证明 120xx，即 120xx ，只需证明 12f x f x，即 22f x f x 来源 :学科网 ZXXK 而 22( ) ( )f x f x等价于 2222(1 ) 1 0xx e x ， 令 2( ) (1 ) 1 0xg x x e x x ，则 2( ) (1 2 ) 1xg x x e ， 令 2( ) (1 2 ) 1xh x x e ，则 2( ) 4 0xh x xe ， 所以 ()hx 单调递减， ( ) 0 0h x h，即 0gx ，所以 gx单调递减， 所以 00g x g，得证 已知函数 ),0()( Rbabeaxxf x ，若任意不同的实数 21,xx 满足 )()( 21 xfxf ，求证： axx ln221 . 方案一（差为自变量）： . 法三： 令 221121 ln,ln, 21 uxuxeueu xx ， 原式 1 2 21 122 1 2 21 2122 21 2121 ln)( ln)()lnln( uuuu uuuuuu uuuu uuuu 0ln 2 1 1 2 1 2 uuuuuu ，则令 1 2ut ， 设 0 2 )1(2 122 12 11)(1ln)( 2 ttttt tttttttgttttg ， 则 )(tg 在 ),1( 为减函数， 则 1t 时 )(tg 有最 大值 0)1( g ， 故 01ln0)( ttttg ，证毕 . 已知函数 xf x e ax a a R ，其中 e 为自然对数的底数 . （ 1）讨论 函数 y f x 的单调性； （ 2）若函数 fx有两个零点 12,xx，证明： 122lnx x a . 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析 【解析】（ ） xf x e a 当 a0 时， f x 0 ，则函数 fx为 R 上的单调递增函数 . 当 a0 时，令 f x 0 ，则 x lna 若 x lna ， 则 f x 0 ， fx在 ,lna 上是单 调减函数； 若 x lna ，则 f x 0 ， fx在 lna, 上是单调增函数 . 来源 :学科网 ZXXK . 专题 07 极值点偏移问题的函数选取 于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题， 过程都需要构造新函数 . 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数 . 已知函数 exf x ax有两个不同的零点 1x ， 2x ，其极值点为 0x （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）求证： 1 2 02x x x ； （ 3）求证： 122xx； （ 4）求证： 121xx 解：（ 1） exf x a ，若 0a ，则 0fx ， fx在 R 上单调递增， 来源 :学。科。网 fx至多有一个零点，舍去；则必有 0a ，得 fx在 ,lna 上递减， 学 *科网 在 ln ,a 上递增，要使 fx有两个不同的零点，则须有 ln 0 ef a a （严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当 x 时， fx ；当 x 时， fx ） . （ 3）由所证结论可以看出，这已不再是 fx的极值点偏移问题，谁的极值点会是 1 呢？回到题设条件： （ ii）构造函数 2G x g x g x ，则 来源 :学。科。网 . 2 22 2 22 2 e 1 e 1 2 ee1 2 xx xx G x g x g x x x x x x 学 *科网 （ 4）（ i）同上； （ ii）构造函数 1G x g x g x ，则 1 1 2 222 2 11 1 e1 e1 1 1 ee 1 x x x x G x g x g xx x x xx x x x x 学 *科网 . 当 01x时， 10x ，但因式 1eexx x 的符号不容易看出，引进辅助函数 1eexxxx ，则 11e 1 e xxx x ，当 0,1x 时， 0x ，得 x 在 0,1 上递增，有 10x，则 0Gx ，得 Gx在 0,1 上递增，有 10G x G，即 1 01g x g xx ； （ iii）将 1x 代入（ ii）中不等式得 12 11g x g x g x ，又 2 1x ， 1 1 1x ， gx在 1, 上递增，故 2 11x x ， 121xx 学 *科网 点评：虽然做出来了，但判定因式 2 22ee2xxx x 及 1eexx x 的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功 夫，虽然 gx的极值点是 1，理论上可以用来做（ 3）、（ 4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到 理想的函数 再次回到题设条件： 0 e e l n l n l n l nxf x a x a x a x x x a ，记函数 lnh x x ，则有 12 lnh x h x a接下来我们选取函数 hx再解（ 3）、（ 4）两 问 （ 3）（ i） 11hx x ，得 hx在 0,1 上递减，在 1, 上递增，有极小值 11h ，又当 0x 时， hx ；当 x 时 ， hx ， 由 12h x h x 不妨设 1201xx . 【 点评 】 用函数 lnh x x x 来做（ 3）、（ 4）两问，过程若行云流水般，格外顺 畅这说明在极值点偏移 问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度 注 1：第（ 2）问也可借助第（ 4）问来证：将 11ln lnx x a， 22ln lnx x a相加得 1 2 1 2 0l n 2 l n 2 l n 2x x x x a a x . 注 2：在第（ ii）步中，我们为 什么总是给定 1x 的范围？这是因为 1x 的范围 0,1 较 2x 的范围 1, 小，以 第（ 3）问为例，若给定 1,x ，因为所构造的函 数为 2H x h x h x ，这里 0x ，且 20x， 得 02x，则当 2x 时， Hx无意义，被迫分为两类： 若 2 2x ，则 1 2 2 2x x x ，结论成立； 当 1,2x 时，类似于原解答 来源 :学科网 ZXXK 而给字 0,1x ，则不会遇到上述问题当然第（ 4）问中给定 1x 或 2x 的范围均可，请读者自己体会其中差 别 【思考】 练习 1： （查看热门文章里极值点偏移（ 1）应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数 lnxy x 来做 212exx ，用函数 lny x ax来做 122xxa 学 *科网 练习 2 ： （安徽合肥 2017 高三第二次质量检测）已知 ln ( )f x x m mx （ 1）求 fx的单调区间； （ 2）设 1m , 1x ， 2x 为函数 fx的两个零点，求证 120xx. 提示：将 0fx ，两边取对数转化为指数方程处理 . 【招式演练】 已知函数 1( ) ln ( )f x a x a Rx 有两个零点 1 2 1 2, ( )x x x x ， 求证： 1122 3 1ax x e . . 只要证： 1 12 12 3 2a xxx x e 即证： 1122 ax x e ，即证： 1212 ax e x，由 ()hx 的单调性知，只需 证： 11 2 1( ) ( ) ( 2 e )ah x h x h x ， 学 *科网 同理构造函数 1( ) ( ) ( 2 ) , (0 , 1 )aH x h x h e x x ，利用单调性证明，下略 . 已知 ( ) lnf x x x 的图像上有 ,AB两点，其横坐标为 1201xx ，且 12( ) ( )f x f x . （ 1）证明： 122 1xxe ； （ 2）证明： 12 21 xx e . . 又构造函数： 1( ) ( ) (1 ) , ( 0 )2g x f x f x x ， 则 1 1 1 2( ) l n l n ( 1 ) 2 , ( ) 0 1 ( 1 )xg x x x g x x x x x ， 故 ()gx 在 1(0, )2 上单调递增，由于 0x 时， ()gx ， 且 1( ) ln( 1) 0gee ， 故必存在 0 1(0, )x e ，使得 0( ) 0gx ， 故 ()gx在 0(0, )x 上单调递减，在 0 1( , )2x 上单调递增， 又 0x 时， ( ) 0gx ，且 1( ) 02g ， 故 ( ) 0gx 在 1(0, )2x 上恒成立， 也即 ( ) (1 )f x f x在 1(0, )2x 上恒成立， 令 1xx ，有 1 2 1( ) ( ) (1 )f x f x f x ， 学 *科网 再由 211,1 ( ,1)xxe ，且 ()fx在 1( ,1)e 上单调递增， 故 211xx ，即证： 121xx成立 . . 综上：即证 122 1xxe 成立 . 从而 ( ) (1 )h t h t对 1(0, )2t 恒成立，同理得出： 121tt. 综上：即证 12 21 tt e 成立，也即原不等式 12 21 xx e 成立 . 学 *科网 已知函数 lnf x x m x m R （ 1）若曲线 y f x 过点 1, 1P ，求曲线 y f x 在点 P 处的切线方程； （ 2）求函数 fx在区间 1,e 上的最大值； （ 3）若函数 fx有两个不同的零点 1x ， 2x ，求证： 212x x e . 【答案】（ 1） 1y ；（ 2）当 1m e 时， max 1f x me，当 1 1me 时， max ln 1f x m ，当 1m 时， maxf x m ；（ 3）证明见解析 . 试题解析： （ 1）因为点 1, 1P 在曲线 y f x 上，所以 1m ，解得 1m 因为 1 1 0fx x ，所以切线的斜率为 0， 所以切线方程为 1y （ 2）因为 11 mxf x mxx ， 当 0m 时， 1,xe ， 0fx ， 所以函数 fx在 1,e 上单调递增，则 m a x 1f x f e m e ； 当 1 em ，即 10 m e时， 1,xe ， 0fx ， 所以函数 fx在 1,e 上单调递增，则 m a x 1f x f e m e ； 当 11 em，即 1 1me时， 函数 fx在 11, m 上单调递增，在 1,e m 上单调递减， 则 m a x 1 ln 1f x f mm ； 学 *科网 当 101m，即 1m 时， 1,xe ， 0fx ， . 函数 fx在 1,e 上单调递减，则 m ax 1f x f m 综上，当 1m e 时， max 1f x me； 当 1 1me时， max ln 1f x m ； 当 1m 时， maxf x m 令 1 2 1 xx ，则 1t ，于是 21ln 1tt t ， 令 21ln 1tf t t t （ 1t ）， 则 2 22 1140 11 tft t t t t ， 故函数 ft在 1, 上是增函数， 所以 10f t f，即 21ln 1tt t 成立，所以原不等式成立 所以 10f t f，即 21ln 1tt t 成立，所以原不等式成立 学 *科网 . 【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式 的方法 .第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利 用导数和斜率的对应关系 易得 .第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对 m 进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义 域内 .第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数 t ，然后利用导数求其最小值来求 . 已知函数 2lnf x a x x. （ 1）当 2a 时，求函数 y f x 在 1,2 2 上的最大值； （ 2）令 g x f x ax，若 y g x 在区间 0,3 上为单调递增函数，求 a 的取值范围； （ 3）当 2a 时，函数 h x f x mx的图象与 x 轴交于两点 12, 0 , , 0 ,A x B x 且 120 xx，又 hx 是 hx的导函数 .若正常数 ,满足条件 1, .证明： 12h x x 0. 【答案】（ 1） 1 （ 2） 92a （ 3） ，理由见解析 用分离参数 22xa x1 在 0,3 上恒成立，即求 22xx1 的最大值 . 学 *科网 （ 3） 有两个实根 ， ，两式相减 ， 又 2h x 2 x mx ， 12h x x 要 证： 12h x x0 ，只需证： ，令 可证 . 试题解析：（ 1） 22 2 2 xf x 2 x ,xx . 函数 在 ,1是增函数，在 1,2是减函数， 所以 于是 121 2 1 2 1 21 2 1 22 l n x l n x2h x x2 x x x x x x x x 21 1 , 2 a 1 , 2 a 1 x x 0 . 且 要证： 12h x x0 ，只需证： 只需证： (*) 令 ， (*)化为 ，只证 即可 ut 在（ 0， 1）上单调递增， ， . 即 已知函数 （ ）当 时，求 的单调区间和极值 . （ ）若对于任意 ，都有 成立，求 的取值范围 ； （ ）若 且 证明： 【答案】 详见解析； 详见解析 . 试题解析： 时 ,因为 所以 函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间 ,无极值； 当 时，令 解得 ， . 当 时， 当 所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 在区间 上的极小值为 无极大值 由题意， 即问题转化为 对于 恒成立 即 对于 恒 成立 , 令 ,则 令 ,则 所以 在区间 上单调递增 ,故 故 所以 在区间 上单调递增 ,函数 要使 对于 恒成立 ,只要 , 又 即证 . 构造函数 即 来源 :学科网 因为 ,所以 即 所以函数 在区间 上单调递增 ,故 而 故 所以 即 所以 成立 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处 理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极 值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于 恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的 最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比 较多，需要多加体会 已知函数 2 ln ( 0 ) .f x ax x x a ()求 fx的单调区间； （ ）设 fx极值点为 0x ，若存在 12, 0,xx ，且 12xx ，使 12f x f x ，求证： 1 2 02.x x x 【答案】（ 1）增区间为： 1 8 1 ,. 4 aa 减区间为： 1 8 10, . 4 aa ；（ 2）见解析 . . 试题解析：（ ） fx的定义域为 21 2 10 , , 2 1 a x xf x a x xx ， 0,a由 0fx 得 : 1 8 14 ax a 由 0fx 得增区间为： 1 8 1 ,. 4 aa 由 0fx 得减区间为： 1 8 10, . 4 aa （ ）要证 1 2 02x x x ，只需证 12 0.2xxx 由（ ）知 0 1 8 1 1, 2 1 ( 0 )4 ax f x a x aax 在 0, 上为增函数， . gt 在上是增函数， 10g t g ，即 2 12 21 1 21 ln 0. 1 x xx xx x 又 12 21 1 0 , 02xxfxx 成立，即 1 2 02.x x x 已知函数 2l n 2 ,g x x a x a x a R . (1)求 gx的单 调区间； (2)若函数 212f x g x a x x ， 1 2 1 2, ( )x x x x 是函数 fx的两个零点， fx 是函数 fx的 导函数，证明： 12 0 2xxf . 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析 【解析】试题分析：（ 1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当 0a 时， 0gx ， gx递 增，当 0a 时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为 10, a ，减区间为 1, a ；（ 2）利用 . 分析法先等价转化所证不等式：要证明 12 0 2xxf ，只需证明 12 1 2 1 2 ln ln2 0xxx x x x 12(0 )xx ， 即证明 12 12122 ln lnxx xxxx ，即证明 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x x x x x x ，再令 1 2 0,1 x tx ，构造函数 1 ln 2 2h t t t t ，利用导数研究函数 ht单调性，确定其最值： ht在 0,1 上递增， 所以 10h t h，即可证得结论 . 试题解析： (1) gx的定义域为 0, ， 1 22g x ax ax 当 0a 时， 0gx ， gx递增 当 0a 时， 22 2 1 2 1 11 22 ax a x x axg x ax ax x x 10 , 0 ,x g x g xa 递增； 1 , 0 ,x g x g xa 递减 综上： 当 0a 时， gx的单调增区间为 10, a ，单调减区间为 1, a 当 0a 时， gx的单调增区间为 0, 即 证明 12 12122 ln lnxx xxxx ，即证明 1 2 1 1 2 2 21 ln * 1 x x x x x x . 令 1 2 0,1 x tx ，则 1 ln 2 2h t t t t 则 1ln 1h t t t ， 211 0ht tt ht 在 0,1 上递减， 10h t h， ht在 0,1 上递增， 10h t h 所以 * 成立，即 12 0 2xxf 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略 (1) 构 造差函数 h x f x g x.根据差函数导函数符 号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式 .（ 2）根据条件，寻找目标函数 .一般思 路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数 . 已知函数 Fx与 lnf x x 的图象关于直线 yx 对称 . （ 1）不等式 1xf x ax对任意 0,x 恒成立，求实数 a 的最大值； （ 2）设 1f x F x 在 1, 内的实根为 0x ， 0 0 ,1 m , xf x x x x x xx fx ，若在区间 1, 上存在 1 2 1 2()m x m x x x，证明： 1202xxx . 【答案】（ 1） 1（ 2）见解析 1202xxx ：要证： 1202xxx ，即证： 2 0 1 02x x x x ，只要证 2 0 12m x m x x，即证 1 0 12m x m x x，构造函数 00 022l n , 1xxxxh x x x x xe ，其中 0 0hx .利用 导数可得 hx 在 01,x 上单调递增，即得 0 0h x h x . 试题解析：（ 1）由 1xf x ax，所以 1lnaxx， 设 1lng x x x， 221 1 1xgx x x x . 由 0gx ， 1x ， gx在 1, 上单调递增； 0gx ， 01x， gx在 0,1 上单调递减，所以 min 11g x g，即 a1 ，所以实数 a 的最 大值为 1. 而 0t ，故 10 t e，而 020xx ，从而 002 21 0xxxxee ， 因此当 0 0 0002 2 2 1 x 2 2111 l n 1 l n 1 0x x x x x xx x xh x x xe e e e ，即 hx单调递增 . 从而当 01 xx 时， 0 0h x h x，即 0111 2 2ln xxxxxx e ，故 1202xxx 得证 . 已知函数 ln ( ,f x ax x b a b为实数 )的图像在点 1, 1f 处的切线方程为 1yx. . （ 1）求实数 ,ab的值及函数 fx的单调区间； （ 2）设函数 1fxgx x ，证明 1 2 1 2()g x g x x x时， 122xx. 【答案】（ 1）函数 fx的单调递减区间为 10, e ，单调递增区间为 1, e ；（ 2）见解析 . . . 已知 lnf x x m mx . （ ） 求 fx的单调区间； （ ）设 1m ， 1x ， 2x 为函数 fx的两个零点，求 证： 120xx. 【答案】（ ）见解析； （ ）见解析 . 【解析】试题分析 : （ ）根据导数 1f x mxm ，分类讨论，当 0m 时， 10f x mxm ； 当 0m 时， 11 m x m mf x mx m x m ，由 0fx . 得 1 ,x m mm ， 1,x m m m 时， 0fx ， 1 ,xm m 时， 0fx ， 即可得出单调区间；（ ）由（ ）知 fx的单调递增区间为 1,mm m ，单调递减区间为 1 ,m m 不妨设 12m x x ，由条件知 11 22 ln x m mxln x m mx，即 121 2 mxmxx m ex m e ，构造函数 mxg x e x， mxg x e x与 ym 图像两交点的横坐标为 1x ， 2x ，利用单调性只需证 112 ln mg x g xm 构造函数利用单调性证明 . 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处 理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般 涉及求函数单调性及极 值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的 最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比 较多，需要多加体会 已知函数 2 1 ln 1f x x a x ， aR （ ）若函数 fx为定义域上的单调函数，求实数 a 的取值范围； . （ ）若函数 fx存在两个极值点 1x ， 2x ，且 12xx ，证明： 12 21 f x f xxx 【答案】（ 1） 1, 2 （ 2）详见解析 . 若 4 8 0a ，即 12a ，方程 22 2 0x x a 的两根为 1 1 1 22 ax ， 2 1 1 22 ax ，当 1,xx 时， 0fx ，所以函数 fx单调递减，当 1 1, 2xx时， 0fx ，所以函数 fx 单调递增，不符合题意 综上，若函数 fx为定义域上的单调函数，则实数 a 的取值范围为 1, 2 （ ）因为函数 fx有两个极值点，所以 0fx 在 1x 上有两个不等的实根， 即 22 2 0x x a 在 1x 有两个不等的实根 1x ， 2x ， 于是 10 2a ， 12 12 1, , 2