2015年春期普通高中三年级第二次诊断考试理科数学答案.pdf

理科数学 第 1 页 共 5 页 2015年春期普通高中三年级第二次诊断考试数学（理工农医类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A A B C B C C D D二、填空题（每小题5分，共25分）119；1225；13 6 ； 14168 ； 15 三、解答题（共75分）16.解：（） ，则道题的概率为记甲至少答对 P2 272027894)32()31()32( 333223 CCP （4分）（II）记考生乙能通过笔试为事件A，则基本事件总数 2036 Cn ，（5分） 事件A包含的基本事件数 16122434 CCCm （7分）所以 .54)( nmAP （8分）（）的所有可能的取值为1，2，3. 51)1(53)1(51)1( 363436 122436 2214 CCPCCCPCCCP ， . （10分）则的分布列为 1 2 3 P 51 53 51（11分）1 3 1( ) 1 2 3 25 5 5E （12分） 理科数学 第 2 页 共 5 页 17.解：（） 1sin ( )3 3 3 2 2MOQ POQ ， ， ， ， ，2 2cos 3 （3分）6 322sin3sincos3cos)3cos(cos POQ （6分)（II） |sincos3|cos|21)cos3(cos)sin(cos POQSQP ， （8分）21 1 3 3cos2 sin2 1 3| 3cos sin cos | | | |sin( 2 ) |2 2 2 2 2 2 3 2 （10分）1 3 3 1| 1| ( )2 2 4 2 12 当且仅当 等号成立 OPQ 面积的最大值为 3 1.4 2 （12分)18. 证明：（）取BD的中点O，连接 EOAOCO , ， BCD 是等腰三角形， 120BCD , CDCB BDCO ， （2分)又EC BD ， EEOEC . BD 平面EOC， BDEO 在 BDE 中，O为BD的中点，BE DE （4分)() 存在线段AE中点M，使得DM平面BEC取AB的中点N，连接 DNMN, ，则 BEMN/ ，又 MN 平面BEC， BE 平面BEC， /MN 平面BEC， （6分) ABD 是正三角形， ABDN ，又 ooo 903060 ABC ，即 ABBC , BCDN/ ，又 DN 平面BEC， BC 平面BEC， /DN 平面BEC，又 NMNDN ，平面 /DMN 平面BEC，又 DM 平面DMN， /DM 平面BEC. （8分)连接BM, ABCDEBD 平面平面 ，平面 EBD 平面ABCD BD ， BDEO ， EO 平面ABCD， （9分)直线AE与平面ABD所成的角为 o45 , 45EAO 3 AOEO又 BDCO ， BDAO ， COA , 三点共线, BDAC ， 在正三角形 ABD 中 ， 32AB ， 理科数学 第 3 页 共 5 页 3AO , 3 DOBO 2 3BE ED DA ,M为线段AE的中点， AEDMAEBM , ， BMD 为二面角 DAEB 的平面角（11分)易得 302BM DM , 512cos 222 DMBM BDDMBMBMD二面角 DAEB 的余弦值为51. （12分)()法二：（向量法） ABCDEBD 平面平面 ，平面 EBD 平面ABCD BD ， BDEO ， EO 平面ABCD， 又 BDCO ， BDAO ， COA , 三点共线, BDAC ，建立空间直角坐标系如图： 在正三角形 ABD 中 ， 32AB ， 3AO , 3 DOBO在等腰三角形 BCD 中， 120BCD 1CO , 2CDBC直线AE与平面ABD所成的角为 o45 . 3 AOEO则 )230,23(),0,3,0(),0,0,1(),0,3,0(),3,0,0( MDCBE （6分)设平面BCE的法向量为 ),(1 zyxn 则 0021 BEn BCn ， )1,3,3(1 n （7分) )23,3,23(DM , 0233291 nDM ， 1nDM 又 BECDM 平面 ,DM平面BEC （8分) 同理平面BEA的法向量为 )1,3,1(1 m ，平面DEA的法向量为 )1,3,1(2 m （10分) 5155 1,cos 21 2121 nn nnnn ，二面角 DAEB 的余弦值为51. （12分)19.解：（I）由题设等差数列a n的公差为d.令 1n ，则 221 aa 令 2n ，则 432 aa 由得 2213 daa ， 1d又 221 aa ， 22 1 da ， 211 a ， 21 nan （6分）（II） naa nn 21 . 理科数学 第 4 页 共 5 页 )11(21)11(1211211 111111111 n nn nnnnnn nnnnnnn aaaaaa aaaa nb . 1211)11(21 1111121 naabbbS nn nnn .（12分）注：若对n分奇偶讨论，则 Zkknnn ZkknnSn ,2,122 ,12,12 11 .20.解：（）由题意知 1c ， 2 2 1a b 且 2 291 4 1a b ， 2 24 3a b ， ，故椭圆的方程为 22 14 3yx （3分）（II）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为 ( 4)y k x 由 22 ( 4)14 3y k xyx 得： 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k （4分）由2 2 2 2( 32 ) 4(4 3)(64 12) 0k k k 得： 2 14k 设 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 ，则 2 21 2 1 22 232 64 124 3 4 3k kx x x xk k ， （6分） 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( 4) ( 4) 4 ( ) 16y y k x k x k x x k x x k 2 22 2 21 2 1 2 2 2 264 12 32 87(1 ) 4 16 254 3 4 3 4 3k kOA OB x x y y k k kk k k （8分） 2 10 4k ， 287 87 873 4 3 4k ， 13 4 )4OA OB ， （9分）（III） 证：B E、 两点关于x 轴对称， 2 2( )E x y，直线AE的方程为 1 21 1 1 2 ( )y yy y x xx x ，令y =0得： 1 1 21 1 2( )y x xx x y y （11分）又 1 1 2 2( 4) ( 4)y k x y k x ， ， 1 2 1 21 22 4( )8x x x xx x x （10分）由将 2 21 2 1 22 232 64 124 3 4 3k kx x x xk k ， 代入得：x =1，直线AE与x轴交于定点(10)，（13分） 理科数学 第 5 页 共 5 页 2(I) (1) ln(1 ) 0ln( ) 1( ) (1)= ln(1 ) 1 0.1f a bx x a bx af x f a b a bx a 21.解：由题设条件 ， （4分）ln( )(II)(1)g( ) ( ) xx x xe xx f e e e 1( ) ( )xxg x x Re （5分）当 1 ( ) 0 1 ( ) 0 ( ) ( 1) ( ) (1 + ).x g x x g x g x x 时， ， 时， 的增区间是 ，g 的减区间是 ，（7分）2 2( ) 1 ln 1(2) ( ) x xxf x xh x e e 2 22 2 22 (ln 1) 1 2 (ln 1)( ) ( )x xx xe e x x xxh x e xe （9分）2 22 1 2 (ln 1) 2 1( ) (i) 0 (0 .x xx x x xk x xe e e ，由 可知,当 时， ，（10分）2 2 2max 2 2 2 3( )=1 2 ln 2 ( ) 2ln 4 2(ln 2)1 1 1( ) 0 ( ) (0 ) ( )1 2 1 2 1 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (1 )m x x x x m x x xm x x m xe e em x m g x m x k xe e e e e e 设令 在 ， 上单增，在 ， 上单减且 与 不于同一点处取等号（14分）