初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第28讲 避免漏解的奥秘.doc

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1、 1 第二十八讲 避免漏解的奥秘 “会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高 解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论 分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解 决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略 解题时何时需要进行分类 ?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发 生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类 ?分类的基本要求是不重 复、不遗漏，每次 分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行 【例题求解】 【例 1】 四条线段的长分别为

2、 9， 5， x ， 1(其中 x 为正实数 )，用它们拼成两个直角三角形， 且 AB与 CD是其中的两条线段 (如图 )，则 x 可取值的个数为 思路点拨 AB 是四条线段中最长的，故 AB=9 或 AB=x ，又 CD 长不定，所以应就 AB、 CD 的取值作全面讨论 注：初中数学常见的分类方法有： (1)按定义、性质、法则、公式分类； (2)对参数分类； (3)按图形位置分类； (4)按图形特征分类； (5)按余数分类 注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必 须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用 【例 2】 方程

3、 1)1( 32 xxx 的所有整数解的个数是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列 的简单问题求解： (1)非零实数的零次幂等于 1； (2)1 的任何次幂等于 1； (3) 1 的偶次幂等 于 1 2 【例 3】 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 023)2(2 rxrrx 有根且只有整数根 思路点拨 根据方程定义， r 是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以， 应对 r=0及 r 0两种情况分类求解 【例 4】 已知一三角形纸片 ABC，面积为 25， BC 边的长为 10，

4、B 和 C 都为锐角， M 为 AB边上的一动点 (M与点 A、 B不重合 )过点 M作 MN BC，交 AC于点 N设 MN=x (1)用 x 表示 AMN的面积 S AMN； (2)用 AMN沿 MN折叠，使 AMN紧贴四边形 BCNM(边 AM、 AN落在四边形 BCNM 所在的平面内 )，设点 A落在平面 BCNM内的点为 A， A MN 与四边形 BCNM重叠部 分的面积为 y 试求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；当 x 为何 值时重叠部分的面积 y 最大，最大为 多少 ? 思路点拨 折叠 AMN， A 点位置不确定，可能在 ABC 内或在 BC 边上或

5、在 ABC 外， 故需按以上三种情况分别求出 y 关于 x 的函数关系式，进而求出 y 的最大值 注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关 系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类， 最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系 【 例 5】 已知 Ol与 O2外切， Ol的半径 R=2，设 O2的半径是 r (1)如果 Ol与 O2的圆心距 d=4，求 r的值； (2)如果 Ol、 O2的公切线中有两条互相垂直，并且 r R，求 r的值 思路点拨 题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一

6、， 故应分类讨论 注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形： 3 (1)由点的不确定定引起的分类 讨论； (2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论； (3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论 学力训练 1已知 m为实数，如果函数 62)4( 2 mmxxmy 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的取值为 2若实数 a 、 b 满足 0582 aa ， 0582 bb ，则 1111 baab 的值为 3若半径为 5和 4的两个圆相交，且公共弦长为 6，则它们的圆心距等于 4已知 O 和不在 O 上的一点 P，过 P 直线交 O 于 A、 B 点，若 PA PB=4

7、， OP=5， 则 O的半径为 5和抛 物线 1108 2 xxy 只有一个公共点 (-1， -1)的直线解析式为 ( ) A 76 xy B 1x C 76 xy 或 1x D 1y 6若线段 AB两端点到直线 l 的距离分别为 4和 8，则 AB的中点到直线 l 的距离是 ( ) A 2 B 4 C 6 D 2或 6 7点 A(-4， 0)， B(2， 0)是 xoy 坐标平面上两定点， C是 221 xy 的图象上的动点，则满 足上述条件的直角 ABC可以画出 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 8如图，在直角梯形 ABCD中 ， AB=7， AD=2， BC=3，如果边 A

8、B上的点 P使得以 P、 A、 D为顶点的三角形和以 P、 B、 C为顶点的三角形相似，那么这样的 P点有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 9已知关于 x 的方程 022)13( 22 kkxkx (1)求证：无论 k 是取何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形 ABC的一边长 6a ，另两边长为 b 、 c 恰好是这个方程的两个根，求此三 角形的周长 10已知：如图，抛物线 C1经过 A， B， C三点，顶点为 D，且与 x轴的另一个交点为 E （ 1）求抛物线 C1的解析式； （ 2）求四边形 ABCD的面积； （ 3） AOB与 BDE是否相似，如果相似，请予以证

9、明；如果不相似，请说明理由； （ 4）设抛物线 C1的对称轴与 x 轴交于点 F，另一条抛物线 C2经过点 E（抛物线 C2与抛物 线 C1不重合），且顶点为 M（ a， b），对称轴与 x 轴相交于点 G，且以 M， G， E 为顶点的 三角形与以 D， E， F为顶点的三角形全等，求 a， b的值（只需写出结果，不必写出解答过 程） y x B O A D E C (2,3 )3 -1-2 4 11以 O为圆心的两个同心圆的半径分别为 9cm和 5cm， O与这两个圆都相切，则 O 的半径是 12在 ABC 中， AB=AC， AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50，则底角

10、 B的大小为 13如图，在 Rt ABC中， C=90， AC=3， BC=4，若以 C为圆心， R为半径所作的圆 与斜边 AB只有一个公共点，则 R的取值范围是 14已知点 A(0， 6)， B(3， 0)， C(2， 0)， M(0， m)，其中 m6，以 M为圆心， MC 为半径 作圆，那么当 m= 时， M与直线 AB相切 15关于 x 的方程 01)1(2 xkkx 有有理根，求整数是的值 16华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下： (1)若一次购物少于 200元，则不予优惠； (2)若一次购物满 200元，但 不超过 500元，按标价给予九折优惠； (3)若一次购物超过 500 元

11、，其中 500 元的部分给予九折优惠，超过 500 元部分给予八 折优惠 小明两次去该超市购物，分别付款 198元与 554元，现在小亮决定一次去购买小明分两 次购买的同样多的物品，他需付款多少 ? 17如图，已知： ABC 中， AB=5， BC=3， AC=4， PQ AB， P 点在 AC 上 (与点 A、 C 不重合 )， Q点在 BC上 (1)当 PQC的面积与四边形 PABQ的面积相等时，求 CP的长； (2)当 PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等时，求 CP的长； (3)试问：在 AB 上是否存在点 M，使得 PQM 为等腰直角三角形 ?若不存在，请简要说明 理由；若存在，

12、请求出 PQ的长 18已知关于 x 的方程 0)1(2 pxqpx (q 0)的两个实数根为 ， 且 5 (1)试用含有 ， 的代数式表示 p 和 q ； (2)求证： 1 (3)若以 ， 为坐标的点 M( ， )在 ABC 的三条边上运动，且 ABC 顶点的坐标分 别为 A(1， 2)， B(21 ， 1)， C(1， 1)，问是否存在点 M使 p +q =45 ，若存在，求出点 M的 坐标；若不存在，请说明理由 19某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2月 1日起的 300天内，西红柿市场 售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙 表示的抛物线段表示 (1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系 )(tfP ；写出图乙表示的种植成本与时间的 函数关系式 )(tgQ (2)认定市场售价减去种植 成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大 ?(注：市场售价和 种植成本的单位：元 102，时间单位：天 ) 6 参考答案 7