初中九年级数学竞赛培优讲义专题22 与圆相关的比例线段.doc

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1、专题 21、专题 22 录入：江阴 夏建平 （ QQ： 705269007） 专题 22 与圆相关的比例线段 阅读与思考 比例线段是初中数学的一个核心问题 . 我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们 可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中 又发展为新的形式 . 在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系 . 在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的 线段的比例关系 . 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联

2、系： 1 从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系； 2 从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式 . 熟悉以下基本图形和以上基本结论 . T P B D C B A P P A D C B A 例题与求解 【例 1】 如图，已知 AB 是 O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，过点 A 作圆的切线与 CD 的延长线交于点 F.若 DE=34CE， AC=8 5，点 D 为 EF 的中点，则 AB= . （全国初中数学联赛试题） 解题思路： 设法求出 AE、 BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等 . D O C F EA B A O D

3、E C 例 1 题图 例 2 题图 【例 2】 如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=4， BC=3，以 BC 上一点 O 为圆心作 O 与 AC、 AB 都相切， 又 O 与 BC 的另一个交点为 D，则线段 BD 的长为（ ） A 1 B 12 C 13 D 14 （武汉市中考试题） 解题思路： 由切割线定理知 BE2=BD BC，欲求 BD，应先求 BE. 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含 条件 . 【例 3】 如图， AB是半圆的直径， O 是圆心， C 是 AB延长线上一点， CD 切半圆于 D， DE AB 于 E.已知 AE EB=4 1， CD=2，求 BC 的长 .

4、 （成都市中考试题） 解题思路： 由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口 . O A E B D C 【例 4】 如图， AC 为 O 的直径且 PA AC， BC 是 O 的一条弦，直线 PB交直线 AC 于点 D， DBDP=DCDO=23. （ 1）求证：直线 PB 是 O 的切线； （ 2）求 cos BCA 的值 . （呼和浩特市中考试题） 解题思路： 对于（ 1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（ 2），将问题转化为求线段的比值 . P O A B D C 【例 5】 如图，已知 AB为 O 的直径， C 为 O 上一点 .延长 BC 至 D，

5、使 CD=BC， CE AD 于 E， BF 交 O 于 F， AF 交 CE 于 P. 求证： PE=PC. （太原市竞赛试题） 解题思路： 易证 PC 为 O 切线，则 PC2=PF PA，只需证明 PE2= PF PA. 证 PEF PAE，作出常用辅 助线，突破相关角 . P OA E F B D C 【例 6】 如图，已知点 P 是 O 外一点， PS、 PT是 O 的两条切线 . 过点 P 作 O 的割线 PAB，交 O 于 A、 B 两点，与 ST 交于点 C. 求证： 1PC=12（ 1PA+ 1PB） . （国家理科实验班招生试题） 解题思路： 利用切割线定理，再由三角形相似

6、即可证 . TS P O A B 能力训练 A 级 1如图， PA切 O 于 A 点， PC 交 O 于 B、 C 两点， M是 BC 上一点，且 PA=6， PB=BM=3， OM=2，则 O 的半径为 . （青岛市中考试题） 2 如图，已知 ABC 内接于 O，且 AB=AC，直径 AD 交 BC 于点 E， F 是 OE 的中点 .如果 BD CF， BC=2 5， 则 CD= . （四川省竞赛试题） M P O A B C E O PD C B A DC B A P OOA E F D C B （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） （第 4 题图） 3 如图， AB 切

7、 O 于点 B， AD 交 O 于点 C、 D， OP CD 于点 P. 若 AB=4cm， AD=8cm， O 的半径为 5cm，则 OP= . （天津市中考试题） 4 如图，已知 O 的弦 AB、 CD 相交于点 P， PA=4， PB=3， PC=6， EA 切 O 于点 A， AE 与 CD 的延长线 交于点 E， AE=2 5，那么 PE 的长为 . （成都市中考试题） 5 如图，在 O 中，弦 AB 与半径 OC 相交于点 M，且 OM=MC，若 AM=1.5， BM=4，则 OC的长为（ ） A 2 6 B 6 C 2 3 D 2 2 （辽宁省中考试题） M D C B A C

8、B A M P OO A C D B （第 5 题图） （第 6 题图） （第 7 题图） 6 如图，两个同心圆，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 P，大圆的弦 CD 经过点 P，且 CD=13， PD=4，则两 圆组成的圆环的面积为（ ） A 16 B 36 C 52 D 81 （南京市中考试题） 7 如图，两圆相交于 C、 D， AB 为公切线，若 AB=12， CD=9，则 MD=（ ） A 3 B 3 3 C 6 D 6 3 8 如图， O 的直径 AB=10， E 是 OB上一点 ，弦 CD 过点 E，且 BE=2， DE=2 2，则弦心距 OF 为（ ） A 1 B 2 C 7 D

9、3 （包头市中考试题） E O P D B A D C B A O O E A C E F DC B （第 8 题图） （第 9 题图） （第 10 题图） 9 如图，已知在 ABC 中， C=90， BE 是角平分线， DE BE 交 AB于 D， O 是 BDE 的外接圆 . （ 1）求证： AC 是 O 的切线； （ 2）若 AD=6， AE=6 2，求 DE的长 . （南京市中考试题） 10 如图， PA 切 O 于 A，割线 PBC 交 O 于 B、 C 两点， D 为 PC 的中点，连结 AD 并延长交 O 于 E， 已知： BE2=DE EA. 求证：（ 1） PA=PD；（ 2

10、） 2BP2=AD DE. （天津市中考试题） 11 如图， ABC 是直角三角形，点 D 在斜边 BC 上， BD=4DC.已知 O 过点 C 且与 AC 相交于 F，与 AB 相切于 AB 的中点 G.求证： AD BF. （全国初中数学联赛试题） G E A D C B O O F A E F D C B （第 11 题图） （第 12 题图） 12 如图，已知 AB 是 O 的直径， AC 切 O 于点 A. 连 结 CO 并延长交 O 于点 D、 E，连结 BD 并延 长交边 AC 于点 F. （ 1）求证： AD AC=DC EA； （ 2）若 AC=nAB（ n 为正整数），求

11、tan CDF 的值 . （太原市竞赛试题） B 级 1 如图，两个同心圆，点 A 在大圆上， AXY 为小圆的割线，若 AX AY=8，则圆环的面积为（ ） A 4 B 8 C 12 D 16 （咸阳市中考试题） 2 如图， P 为圆外一点， PA 切圆于 A， PA=8，直线 PCB 交圆于 C、 B， 且 PC=4， AD BC 于 D， ABC= ， ACB= . 连结 AB、 AC，则 sinsin 的值等于（ ） A 14 B 12 C 2 D 4 （黑龙江省中考试题） YX P D B A D CB A OO F E A C （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图）

12、3 如图，正方形 ABCD 内接于 O， E 为 DC 的中点，直线 BE 交 O 于点 F，若 O 的半径为 2，则 BF 的长为（ ） A 23 B 22 C 556 D 554 （南京市中考试题） 4 如图，已知 O 的半径为 12，锐角 ABC 内接于 O， BD AC 于点 D， OM AB 于点 M，则 sin CBD 的值等于（ ） A OM的长 B 2OM的长 C CD 的长 D 2 CD 的长 （武汉市中考试题） O P B A D C B A M P O O F E A C D C B （第 4 题图） （第 5 题图） （第 6 题图） 5 如图， PC 为 O 的切线，

13、 C 为切点， PAB 是过 O 点的割线， CD AB 于 D.若 tan B=12， PC=10cm，求 BCD 的面积 . （ 北京市海淀区中考试题 ） 6 如图，已知 CF 为 O 的直径， CB为 O 的弦， CB 的延长线与过 F 的 O 的切线交于点 P. （ 1）若 P=45， PF=10，求 O 半 径的长； （ 2）若 E 为 BC 上一点，且满足 PE2=PB PC，连结 FE 并延长交 O 于点 A.求证：点 A 是 BC的中点 . （济南市中考试题） 7 已知 AC、 AB 是 O 的弦， AB AC. （ 1）如图 1，能否在 AB 上确定一点 E，使 AC2=AE

14、 AB?为什么？ （ 2）如图 2，在条件（ 1）的结论下延长 EC 到 P，连结 PB，如果 PB=PE，试判断 PB 与 O 的位置关系并 说明理由； （ 3）在条件（ 2）的情况下，如果 E 是 PD 的中点，那么 C 是 PE的中点吗？为什么？ （重庆市中考试题） 图 2图 1 P B A D C B A P O E A C D C B （第 7 题 图） （第 8 题图） 8 如图， P 为 O 外一点， PA 与 O 切于 A， PBC 是 O 的割线， AD PO 于 D，求证： PBBD=PCCD. （四川省竞赛试题） 9 如图，正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，且 O

15、A 边 和 AB 边所在的直线的解析式分别为： y= 43 x 和 y= 32534 x .D、 E 分别为边 OC 和 AB 的中点， P 为 OA 边上一动点（点 P 与点 O 不 重合），连接 DE 和 CP， 其交点为 Q （ 1）求证：点 Q 为 COP 的外心； （ 2）求正方形 OABC 的边长； （ 3）当 Q 与 AB 相切时，求点 P 的坐标 （河北省中考试题） y x Q D O P B A D CB A P O O E A C E D C B （第 9 题图） （第 10 题图） （第 11 题图） 10 如图，已知 BC 是半圆 O 的直径， D 是 AC的中点，四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 E. （ 1）求证： AC BC=2BD CD； （ 2）若 AE=3， CD=2 5，求弦 AB 和直径 BC 的 长 . （天津市竞赛试题） 11 如图， PA 是 O 的切线，切点为 A， PBC 是 O 的割线， AD OP，垂足为 D. 证明： AD2=BD CD. （全国初中数学联合竞赛试题）