初中九年级数学竞赛培优讲义专题21 直线与圆的位置关系.doc

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1、专题 21 直线与圆的位置关系 阅读与思考 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆 . 运用 与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相 关问题时有广泛的应用 . 1 如图 1，以 I 为 ABC 的内切圆，则有： （ 1） AE=AF= as ， BF=BD= bs ， CD=CE= cs ； （ 2） B+ DIF= C+ DIE= A+ EIF=180 . 这里 BC=a， CA=b， AB=c， s=12（ a+b+c） . 2 如图 2，设 I 为 Rt ABC 的内切圆，则有： （ 1）四

2、边形 IDCE 是正方形； （ 2）内切圆半径 r=AC+BC AB2 . 3 如图 3，设 O 为四边形 ABCD 的内切圆，则有； AB+CD=AD+BC. r I F I O F E A B C D AB C D E D C B A 图 1 图 2 图 3 例题与求解 【例 1】 如图，在 ABC 中， C=90， A 和 B 的平分线相交于 P 点，又 PE AB 于 E 点 .若 BC=2， AC=3，则 AE EB= . （全国初中数学联赛试题） 解题思路： P 为 Rt ABC 内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解 . P E BC A F O E B D C A 例 1

3、 题图 例 2 题图 【例 2】 如图，以正方形 ABCD 的边 BC 为直径作半圆 O，过点 D 作直线切半圆于点 F，交 AB 边于 点 E，则三角形 ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ ） A 3 4 B 4 5 C 5 6 D 6 7 （杭州市中考试题） 解题思路： 本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字 母或赋值 . 【例 3】 如图，已知 ACE= CDE=90，点 B 在 CE 上， CA=CB=CD，过 A、 C、 D 三点的圆交 AB 于 F. 求证： F 是 CDE 的内心 . （全国初中数 学联赛试题） 解题思路： 即要证

4、F 为 CDE 角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关 的角的性质 . F A BC E D 【例 4】 如图，不等边 ABC 内接于 O， I 是其内心，且 AI OI. 求证： AB+AC=2BC. （四川省竞赛试题 ） 解题思路： 从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系 . I O A B C 【例 5】 如图，已知 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高， O、 O1、 O2 分别是 ABC、 ACD、 BCD 角平分线的交点 . 求证：（ 1） O1O CO2；（ 2） OC=O1O2. （武汉市选拔赛试题） 解题思路

5、： 在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应 角相等 . 故通过证交角等于 90的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等 . O 2 O 1 O D BC A 【例 6】 如图，已知直径与等边三角形 ABC 的高相等的圆与 AB 和 BC 边相切于点 D 和 E，与 AC 边 相交于点 F 和 G. 求 DEF 的度数 . （浙江省竞赛试题） 解题思路： 若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键 . G F A B E D C 能力训练 A 级 1 如图， I 是 Rt ABC 的内切圆，切点为 D、 E、 F，若 AF、 BE 的长是方程 x2

6、13x+30=0 的两根， 则 S ABC 的值是 . （泰州市中考试题） y x O O O B A B D A F C E P l F D M E B C A （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） 2 如图， Rt ABC 中， C=90， BC=5， O 内切 Rt ABC 的三边 AB、 BC、 CA 于 D、 E、 F，半 径 r=2，则 AC= . （杭州市中考试题） 3 如图，已知直线 6 xy 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 为 x 轴上可以移动的点，且点 P 在点 A 的左侧， PM x 轴，交直线 6 xy 于点 M. 有一个动圆 O，它

7、与 x 轴、直线 PM 和直线 6 xy 都相切，且在 x 轴上方 .当 O与 y 轴也相切时，点 P 的坐标是 . （青岛市中考试题） 4 如图，已知 ABC 的内切圆 O 与各边相切于 D、 E、 F，那么点 O 是 DEF 的（ ） A 三条中线的交点 B 三条高的交点 C 三条角平分线的交点 D 三条边 的垂直平分线的交点 （四川省中考题） O O F B D A F C E E A B D C （第 4 题图） （第 5 题图） 5 如图， AD 是 ABC 的角平分线， O 过点 A 且和 BC 相切于点 D，和 AB、 AC 分别交于点 E、 F. 若 BD=AE，且 BE=a，

8、 CF=b，则 AF 的长为（ ） A 1+ 52 a B 1+ 32 a C 1+ 52 b D 1+ 32 b 6.若 0 90，那么以 sin、 cos、 tan cot为三边的 ABC 的内切圆半径 r 与外接圆半 径 R 之和是（ ） （安徽省竞赛试题） A sin +cos2 B tan +cot2 C 2sin cos D 1sin +cos 7 如图，设 AD 是 ABC 的中线， ABD、 ADC 的外心分别为 E、 F，直线 BE 与 CF 交于点 G. 若 DG=12BC，求证： ADG=2 ACG. （“我爱数学”夏令营竞赛试题） 8 如图， BC 是 O 的直径， A

9、B、 AD 是 O 的切线，切点分别为 B、 P.过 C 点的切线与 AD 交于点 D.连结 AO、 DO. （ 1）求证： ABO OCD； （ 2）若 AB、 CD 是关于 x 的方程 x2 52（ m 1） x+（ m 1） 2=0 的两个实数根，且 S ABO+S OCD=20， 求 m 的值 . y x O O B D C BC A F P G D N MA D E B C E A （第 7 题图） （第 8 题图） （第 9 题图） 9 如图，以坐标原 点 O 为圆心， 6 为半径的圆交 y 轴于 A、 B 两点， AM、 BN 为 O 的切线， D 为切 线 AM 上的一点（ D

10、 与 A 不重合）， DE 切 O 于点 E，与 BN 交于点 C，且 AD BC. 设 AD=m， BC=n. （ 1）求 m n 的值； （ 2）若 m， n 是方程 2t2 30t+k=0 的两根，求： COD 的面积； CD 所在直线的解析式；切点 E 的坐标 . （辽宁省中考题） 10 如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=4， BC=3，其中 O1， O2， On 为 n 个（ n 2） 相等的圆， O1 与 O2 相外切， O2 与 O3 相外切， On 1 与 On 相外切， O1， O2， On 都与 AB 相切，且 O1 与 AC 相切， On 与 BC 相切 .

11、求这些等圆的半径 r（用 n 表示） . （河北省竞赛试题） A 4 A 3A 2 A 1 I 3 I 2 I 1 O n C F O 2O 1 G BA （第 10 题图） （第 11 题图） 11 如图，四边形 A1A2A3A4 内接于一圆， A1A2A3、 A2A3A4、 A3A4A1 的内心分别是 I1、 I2、 I3.求证： （ 1） A2、 I1、 I2、 A3 四点共圆； （ 2） I1I2I3=90 . （四川省竞赛试题） B 级 1 如图， AC BC， BC=a， AC=b， O 的半径为 r，那么满足关系式 r= aba+b的图形是 .（把 正确的所有图形的序号填在横线上

12、） O O OB B B A C O A C A C C B A 2 已知在 ABC 中， C=90， AC=4， BC=3， CD 为 AB 上的高 . O1、 O2 分别为 ACD、 BCD 的 内心，则 O1O2= . （太原市竞赛试题） 3 如图，半圆与两直角边相切，且圆心 O 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 上 .若直角三角形面积为 S， 斜边长为 c，则半圆 的半径 r= . （五城市联赛试题） 4 已知：如图，以定线段 AB 为直径作半圆 O， P 为半圆上任意一点（异于 A、 B），过点 P 作半圆 O 的切线分别交过 A、 B 两点的切线于 D、 C， AC、 BD 相交

13、于 N 点， 连接 ON、 NP下列结论： 四边形 ANPD 是梯形； ON=NP； DP PC 为定值； PA 为 NPD 的平分线其中一定成立的是 （ ） A B C D O OB D B D B A C P O DN A C E C A O B DA E C （第 3 题图） （ 第 4 题图） （第 5 题图） （第 6 题图） 5 如图，半圆 O 的直径在梯形 ABCD 的底边 AB 上，且与其余三边 BC、 CD、 DA 相切，若 BC=2， DA=3，则 AB 的长（ ） A 等于 4 B 等于 5 C 等于 6 D 不能确定 （全国初中数学联赛试题） 6 如图，在矩形 ABCD

14、 中，连结 AC.如果 O 为 ABC 的内心，过 O 作 OE AD 于点 E，作 OF CD 于 F，则矩形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为（ ） A 12 B 23 C 34 D 不能确定，与 AB、 BC 的长度有关 （学习报公开赛试题） 7 一条直线 DE 平分 ABC 的周长，同时直线 DE 又平分了 ABC 的面积 . 求证：直线 DE 经过 ABC 的内切圆圆心 O. （全国初中数学联赛试题） 8 如图， AB、 BC、 CD 分别与圆相切于 E、 F、 G， AB=BC=CD. 连结 AC 与 BD 相交于点 P，连结 PF. 求证： PF BC. （江苏省

15、竞赛试题） S R HB D BA F C P G A E C （第 8 题图） （第 9 题图） 9 如图，在 ABC 中， CH 为高， R、 S 分别为 ACH 和 BCH 的内切圆与 CH 的切点 .若 AB=1995， AC=1994， BC=1993，则 RS 可表示成 mn，其中 m， n 是互质的正整数 .求 m+n 的值 . （美国中学生数学邀请赛试题） 10 如图， ABC 的三边满足关系式 BC=12（ AB+AC）， O、 I 分别为 ABC 的外心、内心 . BAC 的 外角平分线交 O 于 E， AI 的延长线交 O 于 D， DE 交 BC 于 H. 求证：（ 1

16、） AI=BD；（ 2） OI=12AE. （湖北省选拔赛试题） P K O L M D H y x O B D CB E A C P l O E N M A D E C B A （第 10 题图） （第 11 题图） （第 12 题图） 11 如图，在平面直角坐标系中， A、 B 两点的坐标分别为 A（ 2， 0）、 B（ 8， 0） .以 AB 为直径的半 圆 P 与 y 轴交于点 M，以 AB 为一边作正方形 ABCD. （ 1）求 C、 M 两点的坐标； （ 2） 连接 CM，试判断直线 CM 是否与 P 相切？说明你的理由； （ 3）在 x 轴上是否存在一点 Q，使得 QMC 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由 （南宁市中考试题） 12 如图， O 是等边 ABC 的内切圆，与 AB、 AC 两边分别切于 D、 E 两点，连结 DE. 点 P 是劣弧 DE上的一个动点（不与 D、 E 重合），过点 P 作 PM AB 于 M， PN AC 于 N， PK BC 于 K， PK 交 DE 于 L 点 .求证： （ 1） PL2=PM PN； （ 2） PK= PM+ PN. （黄石二中理科实验班自主招生考试试题）