初中九年级数学竞赛培优讲义专题22 与圆相关的比例线段_答案.docx
专题 22 与圆相关的比例线段 例 1 设 CE=4k,则 DA=DF=3k,AF=AC=85,由 2 = ,即 (85)2=3k10k,得 2 = 323 ,而 AE=2 2 = 362 320=8,又 BE= =1228 =16,故 AB=AE+BE=24. 例 2 C 例 3 1 提示:设 EB=x,则 AE=4x.设 CB=y,则由 2 = , 2 = , 2 +2 = 2,得 4=y(y+5x), 42 +( +)2 = 4. 例 4( 1)联结 OB, OP,可证明 BDC PAE,有 2 = .又 OC 为 ABD 的中位线, OC AD,则 CE OC,知 CE 为 O的切线,故 2 = ,有 2 = 2,即 PE=PC. 例 6 解法一:如图 1,过 P作 PH ST于 H,则 H是 ST的中点,由勾股定理得 2 = 2 + 2 = 2 2 +2 = 2 2 +2 = 2 ( )( +) = 2 .又由切割线定理和相交弦定理,有 2 = = ( )( ) = 2(+) +2, = 2+,即 1 = 12( 1 + 1).解法 二:如图 2,联结 PO交 ST于 D,则 PO ST.联结 SO,作 OE PB于 E,则 E为 AB的中 点,于是 = +2 . C, E, O, D四点共圆, = . RtSPD RtOPS, 2 = , +2 = ,即 1 = 12( 1 + 1). A级 1.22 2.6 提示: BDE CFE, DE=EF, OF=FE=ED,设 OF=x,则 OA=OD=3x, AE=5x,由 = ,得 (5)2 = 5, 1, = 2 +2 = 6. 3. 4cm 4.4 5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2) = 2 = 12, AED ABE, = =22 .设 DE=2, BE=2x, 而 2 +2 = 2,解得 x=6. DE=26 = 23. 10.( 1)略 ( 2) 2 = , = , = ,(+)2 = 2( +).可得 PB=BD= 12PD, PB=PD= 12DC, 22 = .又 BDCD=ADDE, 22 = . 11.作 DE AC于 E,则 AC=54AE, AG=52DE.由切割线定理得 2 = = 54,故 254 2 = 54,即 52 = . AB=5DE, = ,于是 = .又 BAF= AED=90, BAF AED, 于是又 ABF= EAD. EAD+ DAB=90 , ABF+ DAB=90 , 故 AD BE. 12. 如图 , 连接 AD , AE. DAC= DAE , ADC EAC A D E A A D A C D C E AD C A C . CDF= 1= 2= DEA, tan CDF=tan DEA= AD AE .由 知 =AD DC AE AC ,故 tan CDF= DC AC .由圆 的切割线定理知 2AC DC EC,而 EC=ED+DC, 则 2AC DC DC ED.又 AC=nAB, ED=AB,代入 上式得 22n AB DC DC AB, 即 2 2 2n0D C A B D C A B ,故 21 1 4n= 2DC .显然 , 上式 只能取加号, 于是 21 4 n 12n=nD C D Cta n C D F A C A B . B级 1. B 2. B 3. C 4. A 5. 提示 : 1= 2AD C D ACtanB C D D B BC .设 AD=x,则 CD=2x, DB=4x, AB=5x, 由 PAC PCB 得 , 1= 2PA ACPC CB , PA=5,又 2PC PA PB,即 210 =5 5 5x , 解得: x=3, AD=3, CD=6, DB=12, 1 36 2BCDS CD DB . 6. 略 . 连接 FB,证明 PF=PE, BFA= AFC. 7. 能 .连接 BC, 作 ACE= B , CE交 AB于 E. PB与 O相切 . C是 PE的 中点 . 8. 连接 OA、 OB、 OC, 则 2PA PD PO PB PC , 于是, B、 C、 O、 D 四点 共圆 , 有 PCD POB,则 =PC PO PO CD OB OC ,又由 POC PBD 得 PO PB OC BD ,由 得 PB PCBD CD . 9. 略 A( 4,3) , OA=5. P( 3, 9 4 ) . 10. 延长 BA, CD 交于 点 G,由 Rt CAG Rt BDC,得 AC CG BD BC , 即 AC BC BD CG , 又 1 2DG CD CG ,故 2AC BC BD CG . 由 Rt CDE Rt CAG,得 CE CD CG AC , 即 25 345CE CE ,解得 CE=5 ,从而 AG= 2 22 24 5 3 5 4C G A C , GA GB GD GC , 即 4 4 2 5 4 5AB , 解 得 AB=6 , 22 22 6 1 035B C A B A C . 11. 延长 AD 交 O 于 E, 连接 PE、 BE、 CE, PA 为 O 的 切线, PO AE, PE=PA, 12AD DE AE , 易 证 PAB PCA, PEB PCE, ,AB PA EB PEAC PC EC PC,则 AB EBAC EC ,即 AB EC AC EB , 由 托勒密 定理 得 =AB EC AC EB AE BC . =AB EC AC EB AD BC , 即 AB BC AC BCAD EC AD EB, ,有 BAE= BCE, CAD= CBE, ABD CBE, CAD CBE,则 ABD CAD, AD CD BD AD , 故 2AD BD CD.