初中九年级数学竞赛培优讲义专题22 与圆相关的比例线段_答案.docx

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1、专题 22 与圆相关的比例线段 例 1 设 CE=4k，则 DA=DF=3k,AF=AC=85，由 2 = ，即 (85)2=3k10k,得 2 = 323 ,而 AE=2 2 = 362 320=8，又 BE= =1228 =16，故 AB=AE+BE=24. 例 2 C 例 3 1 提示：设 EB=x，则 AE=4x.设 CB=y，则由 2 = ， 2 = ， 2 +2 = 2，得 4=y(y+5x)， 42 +( +)2 = 4. 例 4（ 1）联结 OB， OP，可证明 BDC PAE，有 2 = .又 OC 为 ABD 的中位线， OC AD，则 CE OC，知 CE 为 O的切线，

2、故 2 = ,有 2 = 2,即 PE=PC. 例 6 解法一：如图 1，过 P作 PH ST于 H，则 H是 ST的中点，由勾股定理得 2 = 2 + 2 = 2 2 +2 = 2 2 +2 = 2 ( )( +) = 2 .又由切割线定理和相交弦定理，有 2 = = ( )( ) = 2(+) +2， = 2+，即 1 = 12( 1 + 1).解法 二：如图 2，联结 PO交 ST于 D，则 PO ST.联结 SO，作 OE PB于 E，则 E为 AB的中 点，于是 = +2 . C， E， O， D四点共圆， = . RtSPD RtOPS， 2 = ， +2 = ，即 1 = 12(

3、 1 + 1). A级 1.22 2.6 提示： BDE CFE， DE=EF， OF=FE=ED，设 OF=x，则 OA=OD=3x， AE=5x，由 = ，得 (5)2 = 5, 1， = 2 +2 = 6. 3. 4cm 4.4 5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2) = 2 = 12， AED ABE， = =22 .设 DE=2， BE=2x， 而 2 +2 = 2，解得 x=6. DE=26 = 23. 10.（ 1）略 （ 2） 2 = , = , = ,(+)2 = 2( +).可得 PB=BD= 12PD， PB=PD= 12DC， 22 = .又 BDCD=A

4、DDE， 22 = . 11.作 DE AC于 E，则 AC=54AE， AG=52DE.由切割线定理得 2 = = 54，故 254 2 = 54,即 52 = . AB=5DE， = ,于是 = .又 BAF= AED=90， BAF AED， 于是又 ABF= EAD. EAD+ DAB=90 ， ABF+ DAB=90 ， 故 AD BE. 12. 如图 ， 连接 AD ， AE. DAC= DAE ， ADC EAC A D E A A D A C D C E AD C A C . CDF= 1= 2= DEA， tan CDF=tan DEA= AD AE .由 知 =AD DC

5、AE AC ，故 tan CDF= DC AC .由圆 的切割线定理知 2AC DC EC，而 EC=ED+DC， 则 2AC DC DC ED.又 AC=nAB， ED=AB，代入 上式得 22n AB DC DC AB， 即 2 2 2n0D C A B D C A B ，故 21 1 4n= 2DC .显然 ， 上式 只能取加号， 于是 21 4 n 12n=nD C D Cta n C D F A C A B . B级 1. B 2. B 3. C 4. A 5. 提示 ： 1= 2AD C D ACtanB C D D B BC .设 AD=x，则 CD=2x， DB=4x， AB=

6、5x， 由 PAC PCB 得 ， 1= 2PA ACPC CB ， PA=5，又 2PC PA PB，即 210 =5 5 5x ， 解得： x=3， AD=3， CD=6， DB=12， 1 36 2BCDS CD DB . 6. 略 . 连接 FB，证明 PF=PE， BFA= AFC. 7. 能 .连接 BC， 作 ACE= B ， CE交 AB于 E. PB与 O相切 . C是 PE的 中点 . 8. 连接 OA、 OB、 OC， 则 2PA PD PO PB PC ， 于是， B、 C、 O、 D 四点 共圆 ， 有 PCD POB，则 =PC PO PO CD OB OC ，又由

7、 POC PBD 得 PO PB OC BD ，由 得 PB PCBD CD . 9. 略 A（ 4,3） ， OA=5. P（ 3， 9 4 ） . 10. 延长 BA， CD 交于 点 G，由 Rt CAG Rt BDC，得 AC CG BD BC ， 即 AC BC BD CG ， 又 1 2DG CD CG ，故 2AC BC BD CG . 由 Rt CDE Rt CAG，得 CE CD CG AC ， 即 25 345CE CE ，解得 CE=5 ，从而 AG= 2 22 24 5 3 5 4C G A C ， GA GB GD GC ， 即 4 4 2 5 4 5AB ， 解 得

8、 AB=6 ， 22 22 6 1 035B C A B A C . 11. 延长 AD 交 O 于 E， 连接 PE、 BE、 CE， PA 为 O 的 切线， PO AE， PE=PA， 12AD DE AE ， 易 证 PAB PCA， PEB PCE， ,AB PA EB PEAC PC EC PC，则 AB EBAC EC ，即 AB EC AC EB ， 由 托勒密 定理 得 =AB EC AC EB AE BC . =AB EC AC EB AD BC ， 即 AB BC AC BCAD EC AD EB， ，有 BAE= BCE， CAD= CBE， ABD CBE， CAD CBE，则 ABD CAD， AD CD BD AD ， 故 2AD BD CD.