初中九年级数学竞赛培优讲义专题23 圆与圆的位置关系.doc

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1、 1 专题 23 圆与圆的位置关系 【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系 .圆与圆 相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质 . 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1.相交两圆作公共弦或连心线； 2.相切两圆作过切点的公切线或连心线； 3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形 . 熟悉以下基本图形和以上基本结论 . 【例题与求解】 【 例 1】 如图，大圆 O 的直径 aAB cm，分别以 OA， OB 为直径作 O1和 O2，并在 O 与 O1 和 O2 的空

2、隙间作两个等圆 O3 和 O4，这些圆互相内切或外切，则四边形 3241 OOOO 的面积为 _cm2. （全国初中数学竞赛试题） 解题思路： 易证四边形 3241 OOOO 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长 . O O 2O 1 O 3 O 4 BA 【例 2】 如图，圆心为 A， B， C 的三个圆彼此相切，且均与直线 l 相切 .若 A， B， 2 C 的半径分别为 a ， b ， c （ bac 0 ），则 a ， b ， c 一定满足的关系式为（ ） A. cab 2 B. cab 2 C. bac 111 D. bac 111 （天津市竞赛试题） 解题思路： 从两圆相切位置关

3、系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本 辅助线 . l C A 1 C 1 B 1 B A 【例 3】 如图，已知两圆内切于点 P，大圆的弦 AB 切小圆于点 C， PC 的延长线交大圆于点 D.求证： （ 1） APD= BPD； （ 2） CBACPCPBPA 2. （天津市中考试题） 解题思路： 对于（ 1），作出相应辅助线；对于（ 2），应化简待证式的右边，不妨从 AC BC=PC CD 入手 . P BC D A 【例 4】 如图 O1 和 O2 相交于点 A 及 B 处， O1 的圆心落在 O2的圆周上， O1 的弦 AC 与 O2 交于点 D.求证： O1

4、D BC. （全俄中学生九年级竞赛试题） 解题思路： 连接 AB， O1B， O1C，显然 O1BC 为等腰三角形，若证 O1D BC，只需证明 O1D 平分 B O1C.充分运用与圆相关的角 . O 1 O 2 D B C A 【例 5】 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， AB BC， AD=1,AB=2， DC= 22 ，点 P 在边 BC 上 3 运动（与 B， C 不重合） .设 PC=x ，四边形 ABPD 的面积为 y . （ 1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）若以 D 为圆心， 21 为半径作 D，以 P 为圆心，以 PC

5、的长为半径作 P，当 x 为何值时， D 与 P 相切？并求出这两圆相切时四边形 ABPD 的面积 . （河南省中考题） 解题思路： 对于（ 2）， P 与 D 既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆 的性质建立关于 x 的方程 . D C P B A 【例 6】 如图， ABCD 是边长为 a 的正方形，以 D 为圆心， DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆交 于另一点 P，延长 AP 交 BC 于点 N，求 NCBN 的值 . （全国初中数学联赛试题） 解题思路： AB 为两圆的公切线， BC 为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象， 可生成解题

6、策略与方法 . N P BA CD 【能力与训练 】 A 级 1.如图， A， B 的圆心 A， B 在直线 l 上，两圆的半径都为 1cm.开始时圆心距 AB 4cm，现 A， 4 B 同时沿直线 l 以每秒 2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时， A 运动的时间为 _秒 . （宁波市中考试题） 2.如图， O2是 O1上任意一点， O1 和 O2 相交于 A， B 两点， E 为优弧 AB 上的一点， EO2 及延长线 交 O2于 C， D，交 AB 于 F，且 CF 1， EC 2，那么 O2 的半径为 _. （四川省 中考试题） （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图）

7、3.如图，半圆 O 的直径 AB 4,与半圆 O 内切的动圆 O1 与 AB 切于点 M.设 O1 的半径为 y ， AM 的长 为 x ，则 y 与 x 的函数关系是 _.（要求写出自变量 x 的取值范围） （昆明市中考试题） 4.已知直径分别为 151 和 315 的两个圆，它们的圆心距为 115 ，这两圆的公切线的条数是 _. 5.如图， O1和 O2相交于点 A， B，且 O2 的圆心 O2在圆 O1 的圆上， P 是 O2 上一点 .已知 A O1B 60，那么 APB 的度数是（ ） A.60 B.65 C.70 D.75 （甘肃省中考试题） 6.如图，两圆相交于 A、 B 两点，

8、过点 B 的直线与两圆分别交于 C， D 两点 .若 O1半径为 5 ， O2 的半径为 2，则 AC： AD 为（ ） A. 52:3 B. 3:52 C. 1:52 D. 2:5 （第 5 题图） （第 6 题图） （第 7 题图） 7.如图， O1 和 O2 外切于点 T，它们的半径之比为 3:2， AB 是它们的外公切线， A， B 是切点， AB 64 ，那么 O1 和 O2 的圆心距是（ ） A. 65 B.10 C. 610 D. 133920 8.已知两圆的半径分别为 R 和 r （ rR ），圆心距为 d .若关于 x 的方程 0)(2 22 dRrxx 有两 相等的实数根，

9、那么这两圆的位置关系是（ ） A.外切 B.内切 C.外离 D.外切或内切 lBA F C E B A D O 1 O 2 O 1 BOMA O 1 O 2 P B A O 2 DBC A O 1 B A TO 1 O 2 5 （连云港市中考试题） 9.如图， O1与 O2相交于 A， B 两点，点 O1 在 O2上，点 C 为 O1 中优弧 AB 上任意一点，直线 CB 交 O2于 D，连接 O1D. （ 1）证明： DO1 AC； （ 2）若点 C 在劣弧 AB 上，（ 1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论 . （大连市中考试题） D B C A O 1 O 2 O 1

10、 O 2 B A 图 1 图 2 10.如图，已知 O1 与 O2 外切于点 P， AB 过点 P 且分别交 O1 和 O2 于点 A， B， BH 切 O2于点 B， 交 O1于点 C， H. （ 1）求证： BCP HAP； （ 2）若 AP:PB 3： 2，且 C 为 HB 的中点，求 HA:BC. （福州市中考试题） O 1 O 2P A BC H 11.如图，已知 B， C 的半径不等，且外切于点 A，不过点 A 的一条公切线切 B 于点 D，切 C 于 点 E，直线 AF DE，且与 BC 的垂直平分线交于点 F.求证： BC 2AF. （英国数学奥林匹克试题） 6 H F A E

11、 D C B 12.如图， AB 为半圆的直径， C 是半圆弧上一点 .正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过 ABC 得内切圆圆心 O，且点 E 在半 圆弧上 . （ 1）若正方形的顶点 F 也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比； （ 2）若正方形 DEFG 的面积为 100，且 ABC 的内切圆半径 4r ，求半圆的直径 AB. （杭州市中考试题） O C EF DG BA B 级 1.相交两圆的半径分别为 5cm 和 4cm，公共弦长为 6cm，这两圆的圆心距为 _. 2.如图， O 过 M 点， M 交 O 于 A，延长 O 的直径 AB 交 M 于

12、C.若 AB 8， BC 1，则 AM _. （黑龙江省中考试题） （ 第 2 题图 ） （ 第 3 题图 ） （ 第 4 题图 ） 3.已知圆环内直径为 a cm，外直径为 b cm，将 50 个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链， 那么这条锁链拉直后的长度为 _cm. 4.如图，已知 PQ 10，以 PQ 为直径的圆与一个以 20 为半径的圆相切于点 P.正方形 ABCD 的顶点 A， B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点 Q.若 AB nm ，其中 m ， n 为整数，则 b - a 2 aaa b - a 2 O A B C M Q D C B A P 7 nm

13、_. （美国中学生数学邀请赛试 题） 5.如图，正方形 ABCD 的对角线 AC， BD 交于点 M，且分正方形为 4 个三角形， O1， O2， O3， O4，分别为 AMB， BMC， CMD， DMA 的内切圆 .已知 AB 1.则 O1， O2， O3， O4 所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ） A. (4 )(3 2 2 )16 B. (3 2 2)4 C. (4 )(3 2 2 )4 D. 416 （太原市竞赛试题） M O 4 O 3O 1 O 2 D CB A C D E A B O 1 O 2 D C B AO 1 O 2 （第 5 题图） （第 6 题图） （第 7 题图

14、） 6.如图， O1与 O2内切于点 E， O1 的弦 AB 过 O2 的圆心 O2，交 O2于点 C， D.若 AC： CD:BD 2:4:3，则 O2与 O1的半径之比为（ ） A.2:3 B.2:5 C.1:3 D.1:4 7.如图， O1 与 O2 外切于点 A，两圆的一条外公切线与 O1相切于点 B，若 AB 与两圆的另一条外公 切线平行，则 O1 与 O2的半径之比为（ ） A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3 （全国初中数学联赛试题） 8.如图，已知 O1与 O2相交于 A， B 两点，过点 A 作 O1的切线，交 O2于点 C，过点 B 作两圆的 割线分别交 O1，

15、O2 于点 D， E， DE 与 AC 相交于点 P. （ 1）求证： PA PE PC PD （ 2）当 AD 与 O2相切且 PA 6， PC 2， PD 12 时，求 AD 的长 . （黄冈市中考试题） EP CBD A O 2O 1 9.如图，已知 O1和 O2外切于 A， BC 是 O1 和 O2的公切线，切点为 B， C.连接 BA 并延长交 O1 于 D，过 D 点作 CB 的平行线交 O2于 E， F. （ 1）求证： CD 是 O1的直径； （ 2）试判断线段 BC， BE， BF 的大小关系，并证明你的结论 . （四川省中考试题） 8 O 1O 2 D E F A CB 1

16、0.如图，两个同心圆的圆心是 O，大圆的半径为 13，小圆的半径为 5， AD 是大圆的直径，大 圆的弦 AB， BE 分别与小圆相切于点 C， F， AD， BE 相交于点 G，连接 BD. （ 1）求 BD 的长； （ 2）求 2ABE D 的度数； （ 3） 求 BGAG 的值 . （淄博市中考试题） G O E F C A D B 11.如图，点 H 为 ABC 的垂心，以 AB 为直径的 O1与 BCH 的外接圆 O2相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P.求证： P 为 CH 的中点 . （“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题） B DH C P A O 1 O 2 12.如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，点 P 为直径 AB 上的任意一点，以点 A 为圆心， AP 为半径作 A， A 与半圆 O 相交于点 C，以点 B 为圆心， BP 为半径作 B， B 与半圆 O 相交于点 D，且线段 CD 的 中点为 M.求证： MP 分别与 A， B 相切 . （“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题） M P O BA C D