初中九年级数学竞赛培优讲义专题24 平面几何的定值问题.doc

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1、1 专题 24 平面几何的定值问题 【阅读与思考】 所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内 变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变） . 几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动 的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化 的元素，也就是我们要探求的定值 . 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明 . 【例题与求解】 【 例 1】 如图，已知 P 为正方形 ABCD 的外接圆的劣弧 AD 上任意一点

2、 .求证： PA PCPB 为定值 . 解题思路： 线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等 . P A B C D 【例 2】 如图， AB 为 O 的一固定直径，它把 O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦 CD AB， OCD 的平分线交 O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A， B 两点）上移动时，点 P（ ） A.到 CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 DB D.随 C 点的移动而移动 （济南市中考试题） 解题思路： 添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论 . A B C D P O 【例 3】 如图，定长的弦 ST 在一

3、个以 AB 为直径的半圆上滑 动， M 是 ST 的中点， P 是 S 对 AB 作垂线 的垂足 .求证：不管 ST 滑到什么位置， SPM 是一定角 . （加拿大数学奥林匹克试题） 解题思路： 不管 ST 滑到什么位置， SOT 的度数是定值 .从探寻 SPM 与 SOT 的关系入手 . 2 M P O BA S T 【例 4】 如图，扇形 OAB 的半径 OA=3，圆心角 AOB=90 .点 C 是 AB 上异于 A， B 的动点，过点 C 作 CD OA 于点 D，作 CE OB 于点 E.连接 DE，点 G， H 在线段 DE 上，且 DG=GH=HE. （ 1）求证：四边形 OGCH

4、 是平行四边形； （ 2）当点 C 在 AB 上运动时，在 CD， CG， DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段 的长度 ； （ 3）求证： CD2+3CH2 是定值 . （广州市中考试题） 解题思路： 延长 OG 交 CD 于 N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线 段 ON 转化成线段 CH 的倍分关系，再以 Rt OND 为基础 ，通过勾股定理，使问题得以解决 . B O A CE H G D 【例 5】 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上， M 交 x 轴于 A， B 两点，交 y 轴于 C， D 两点，且

5、C 为弧 AE 的中点， AE 交 y 轴于 G 点 .若点 A 的坐标为（ -2， 0）， AE=8. （ 1）求点 C 的坐标； （ 2）连接 MG， BC，求证： MG BC； （ 3）如图 2，过点 D 作 M 的切线，交 x 轴于点 P.动点 F 在 M 的圆周上运动时， PFOF 的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律 . （深圳市中考试题） 解题思路： 对于（ 3）从动点 F 达到的特殊位置时入手探求定值 . A BM G C E N O x y x y A B D P O G E F M C （图 1） （图 2） 3 【例 6】 如图，已知等边 ABC

6、内接于半径为 1的圆 O， P 是 O 上的任意一点 .求证： PA 2+PB2+PC2 为定值 . 解题思路： 当点 P与 C点重合时， PA 2+PB2+PC2=2BC2为 定值，就一般情形证明 . A B C P O 【能力训练】 A 级 1.如图，点 A， B 是双曲线 xy 3 上的两点，分别经过 A， B 两点向 x 轴， y 轴作垂线段 .若 S 阴影 =1，则 21 SS _. （牡丹江市中考试题） A B O x y S 1 S 2 O A B P E A B C D E F （第 1 题图） （第 3 题图） （第 4 题图） 2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三

7、条垂线段的长分别为 1， 3， 5，则这个等边三角形的 面积是 _. （ 全国初中数学联赛试题） 3.如图， OA， OB 是 O 任意两条半径，过 B 作 BE OA 于 E，又作 OP AB 于 P，则定值 OP2+EP2为 _. 4.如图，在菱形 ABCD 中， ABC=120， F 是 DC 的中点， AF 的延长线交 BC 的延长线于点 E，则直 线 BF 与直线 DE 所夹的锐角的度数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.60 （武汉市竞赛试题） 5.如图，在 O 中， P 是直径 AB 上一动点，在 AB 同侧作 A AB， ABBB ，且 AA =AP， B =BP. 连

8、接 BA ，当点 P 从点 A 移动到点 B 时， BA 的中点的位置（ ） A在平分 AB 的某直线上移动 B.在垂直 AB 的某直线上移动 C.在弧 AMB 上移动 D.保持固定不移动 （荆门市中考试题） 4 OP A A B B M B E F AC DO x y （第 5 题图） （第 6 题图） 6.如图， A， B 是函数 xky 图象上的两点，点 C， D， E， F 分别在坐标轴上，且分别与点 A， B， O 构 成正方形和长方形 .若正方形 OCAD 的面积为 6，则长方形 OEBF 的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.12 （海南省竞赛试题） 7.（ 1）经过 O

9、内或 O 外一点 P 作两条直线交 O 于 A， B 和 C， D 四点，得到如图 所表示的 六种不同情况 .在六种不同情况下， PA， PB， PC， PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一 个式子表示出来 .请你首先写出这个式子，然后只就如图所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的 证明 . O C A ( B ) ( D ) P P D ( B ) A C O O C A B D P P D B C O O C A B D P ( P ) D B A C O （ 2）已知 O 的半径为一定值 r，若点 P 是不在 O 上的一个定点，请你过点 P 任作一直线交 O 于不 重合的两点

10、 E， F. PE PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什 么结论？请你把这一结论用文字 叙述出来 . （济南市中考试题） 5 8.在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A， C 分别在 y 轴， x 轴的正半轴上，点 O 在原点，现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 xy 上时停止旋转 .旋转过程 中， AB 边交直线 xy 于点 M， BC 边交 x 轴于点 N. （ 1）求 OA 在旋转过程中所扫过的面积； （ 2）旋转过程中，当 MN 与 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转度数； （ 3）设 MBN 的周长为 P，在 正

11、方形 OABC 旋转的过程中， P 值是否有变化？请证明你的结论 . y = x N M B C A O y x （济宁市中考试题） 9.如图， AB 是半圆的直径， AC AB， AC=AB.在半圆上任取一点 D，作 DE CD，交直线 AB 于点 E， BF AB，交线段 AD 的延长线于点 F. （ 1）设弧 AD 是 x的弧，若要点 E 在线段 BA 的延长线上，则 x 的取值范围是 _. （ 2）不论点 D 取在半圆的什么位置，图中除 AB AC 外，还有两条线段一定相等 .指出这两条相等的线 段，并予证明 . （江苏省竞赛试题） （第 9 题图） （第 10 题图） （第 11 题

12、图） 10.如图，内接于 O 的四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 垂直相交于点 K，设 O 的半径为 R.求证： （ 1） 2222 DKCKBKAK 是定值； （ 2） 2222 DACDBCAB 是定值 . F C D E BA P D C BA K O D C B A 6 11.如图，设 P 是正方形 ABCD 外接圆劣弧弧 AB 上的一点，求证： DPCP BPAP 的值为定值 . （克罗地亚数学奥林匹克试题） B 级 1.等腰 ABC 的底边 BC 为定长 2， H 为 ABC 的垂心 .当顶点 A 在保持 ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积 S ABC S H

13、BC 的值保持不变，则 S ABC S HBC=_. 2.已知 A， B， C， D， E 是反比例函数 xy 16 （ x 0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分 别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成 如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 _（用含 的代数式表示） . A B C D E O x y （福州市中考试题） 3.如图，将 六边形 ABCDEF 沿直线 GH 折叠，使点 A， B 落在六边形 ABCDEF 的内部，记 C D E F ，则下列结论一定正确的是（ ） A. 1 2 900 2 B.

14、1 2 1080 2 C. 1 2 720 D. 1 2 360 21 （武汉市竞赛试题） （第 3 题图） （第 4 题图） 4.如图，正 ABO 的高 等于 O 的半径， O 在 AB 上滚动，切点为 T， O 交 AO， BO 于 M， N，则 弧 MTN（ ） 1 2 G FE D C H B A T NM A B O 7 A.在 0到 30变化 B.在 30到 60变化 C.保持 30不变 D.保持 60不变 5.如图， AB 是 O 的直径，且 AB=10，弦 MN 的长为 8.若 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交， 记点 A， B 到 MN 的距离分别为 h1， h2

15、，则 h1-h2等于（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 （黄石市中考试题） （第 5 题图） （第 6 题图） 6.如图，已知 ABC 为直角三角形， ACB=90， AC=BC，点 A， C 在 x 轴上，点 B 坐标为（ 3， m） （ m 0），线段 AB 与 y 轴相交于点 D，以 P（ 1， 0）为顶点的抛物线过点 B， D. （ 1）求点 A 的坐标（用 m 表示） （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连接 PQ 并延长交 BC 于点 E，连接 BQ 并延长交 AC 于点 F.试证明 ： FC（ AC+EC）为定值 . （株洲

16、市中考试题） 7.如图，已知等边 ABC 内接于圆，在劣弧 AB 上取异于 A， B 的点 M.设直线 AC 与 BM 相交于 K，直 线 CB 与 AM 相交于点 N.证明线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关 . （湖北省选拔赛试题） （第 7 题图） （第 8 题图） 8.如图，设 H 是等腰三角形 ABC 两条高的交点，在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的距 h 1 h 2 N M E F O BA y x Q P F C E B D OA N K M BA C H CB A 8 离变小，这时乘积 S ABC S HBC 的值变小、变大，还是不变 ？证明

17、你的结论 . （全国初中数学联赛试题） 9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 1094181 2 xxy 与 x 轴的交点为点 A，与 y 轴的交点为 点 B.过点 B 作 x 轴的平行线 BC，交抛物线于点 C，连接 AC.现有两动点 P， Q 分别从 O， C 两点同时 出发，点 P 以每秒 4个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动，点 Q 以每秒 1个单位的速度沿 CB 向点 B 移动 . 点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动 .线段 OC， PQ 相交于点 D，过点 D 作 DE OA，交 CA 于 E， 射线 QE 交 x 轴于点 F.设动点 P， Q 移动的时间为

18、t（单位：秒） . （ 1）求 A， B， C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标； （ 2）当 t 为何值时，四边形 PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （ 3）当 290 t 时， PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （ 4）当 t 为何值时， PQF 为等腰三角形，请写出解答过程 . （黄冈市中考试题） （第 9 题图） （第 10 题图） 10.已知抛物线 C1： 121 2 1 xxy ，点 F（ 1,1） . （ 1）求抛物线 C1的顶点坐标； （ 2）若抛物线 C1与 y 轴的交点为 A，连接 AF，并延长交抛物线 C1于点 B，求证： 211 BFAF . （ 3）抛物线 C1上任意一点 P（ xP， yP）（ 0 xP 1），连接 PF，并延长交抛物线 C1于点 Q（ xQ， yQ），试判断 211 QFPF 是否成立？请说明理由 . 11.已知 A， B 是平面上的两个顶点， C 是位于 AB 一侧的一个动点，分别以 AC， BC 为边在 ABC 外作 正方形 ACDE 和正方形 BCFG.求证：不论 C 在直线 AB 同一侧的任 何位置， EG 的中点 P 的位置不变 . （四川省竞赛试题） C y x FA E D P QB O y x B Q F P O A