初中九年级数学竞赛培优讲义专题26 分而治之.doc

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1、 专 题 26 分而治之 分类讨论 阅读与思考 在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类 讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法 运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要 “既 不重复，又不遗漏 ”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行 初中数学分类讨论问题的常见形式有： 1一些定义、定理、公式和法则有范围或条件 的限制，在使用过程中必须讨论； 2题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论； 3一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才

2、能保证结论的完整性； 4一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性； 5对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论 例题与求解 【例 1】 如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=3， BC=4若以 C为圆心， R为半径所作的圆与斜 边 AB只有一个公共点，则 R的取值范围是 （北京市宣武区 中考试题） 解题思路： 圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交 【例 2】 解方程： x 2 + x +3 =x +10 解题思路： 解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对 x 的取值范围进行分类讨 论需分下列三种情况： x 3； 3 x

3、2； x 2 【例 3】 若关于 x 的方程 (6 k)(9 k)x2 (117 15k)x +54=0的解都是整数，则符合条件的整数 k 的 值有 _ （全国初中数学竞赛试题） 解题思路： 用 因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方 程两种情形讨论，这样确定 k 的值才能全面而准确 【例 4】 如图，已知 ABC中， AB=5， BC=3， AC=4， PQ AB， P点在 AC上（与点 A， C不重合）， Q在 BC上 (1)当 PQC的面积与四边形 PABQ的面积相等时，求 CP的长； (2)当 PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等时，求 CP的长

4、； (3)试问：在 AB 上是否存在点 M，使得 PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由； 若存在，请求出 PQ的长 （福州市中考试题） 解题思路： 对于 (3)，使 PQM 为等腰直角三角形有两种情况：一是以 PQ 为直角边，二是以 PQ 为斜边 【例 5】 证明：每个大于 6的自然数 n都可表示为两个大于 1且互质的自然数之和（全国初中数学 联赛试题） 解题思路： 由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论 【例 6】 设 a和 b是相异实数，证明：存在整数 m和 n，使得 0bnam ， 0anbm （加 拿大中学生竞赛试题） 解题思路： a，

5、b为相异实数，则必有 a b0或 a b0， k0）的图象经过线段 BC的中点 D (1) 求 k的值； (2) 若点 P(x， y)在该反比例函数的图象上运动（不与点 D重合），过点 P作 PR y轴于点 R，作 PQ BC 所在直线于点 Q，记四边形 COPR的面积为 S，求 S关于 x的解析式并写出 x的取值范围 y x D O B C A 18已知 ABC中， BC=6 cm， CA=8 cm， C=90，动点 P从点 C出发，以每秒 1 cm的速度沿 CA， AB运动到 B点 (1)设 P从 C开始运动的距 离为 x cm， BCP的面积为 y cm2，把 y表示成 x 的函数； (

6、2)从 C出发几秒时， S BCP=14 S ABC? （荆州市中考试题） 19如图，已知 O1与 O2外切于点 O，以直线 O1O2为 x轴，点 O为坐标原点建立直角坐标系， 直线 AB切 O1于点 B，切 O2于点 A，交 y轴于点 C(0， 2)，交 x轴于点 M； BO的延长线交 O2于点 D，且 OB： OD=1： 3 (1) 求 O2的半径长； (2) 求直线 AB的解析式； (3) 在直线 AB上是否存在点 P，使 MO2P与 MOB相似？若存在，求出 P点坐标；若不存在， 说明理由 （吉林省中考试题） y x C M A OO 1 O 2 B D 20已知抛物线 l1： y=a

7、x2 2amx+am2+2m+1(a0， m0)的顶点为 A，抛物线 l2的顶点 B在 y轴上， 且抛物线 l1和抛物线 l2关于点 P(1， 3)成中心对 称 (1) 当 a=1时，求 l2的解析式和 m的值； (2) 设 l2与 x 轴正半轴的交点是 C，当 ABC为等腰三角形时，求 a的值 （浙江省竞赛试题） 21已知定理： “若三个大于 3的质数 a， b， c满足关系式 2a+5b=c，则 a+b+c是整数 n的倍数， ” 试问：上述定理中的整数 n的最大可能值是多少？并证明你的结论 （全国初中数学联赛试题） 22如果对一切 x的整数值， x的二次三项式 ax2+bx+c都是 平方数

8、（即整数的平方），证明： (1) 2a， 2b都是整数； (2) a， b， c都是整数，并且 c是平方数 反过来，如果 (2)成立，是否对一切 x的整数值， ax2+bx+c的值都是平方数？ （全国初中数学竞赛试题） 23 2 007个质点均匀分布在半径为 R的圆周上，依次记为 P1， P2， P3， ， P2007小明用红色按 如下规则去涂这些点：设某次涂第 i 个质点，则下次就涂第 i 个质点后面的第 i 个质点按此规则，小 明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若 不能，请说明理由， 、 （浙江省竞赛试题） 24甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于 2人，甲队最少，丙队最多同一球队 的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场统计员作了记录：参加比赛的共有 13 人，进 行的比赛共有 54场求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由 （江苏省竞赛试题）