初中九年级数学竞赛培优讲义专题25 平面几何的最值问题.doc

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1、专题 25 平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最 值问题 是指在一定的条件下，求平面几何 图 形中某个确定的量（如 线 段 长 度、角度大小、 图 形面 积 ）等的最大 值 或最小 值 求几何最 值问题 的基本方法有： 1特殊位置与极端位置法：先考 虑 特殊位置或极端位置，确定最 值 的具体数 据，再 进 行一般情形 下的推 证 2几何定理（公理）法： 应 用几何中的不等量性 质 、定理 3数形 结 合法等：揭示 问题 中 变动 元素的代数关系，构造一元二次方程、二次 函数等 例题与求解 【例 1】 在 Rt ABC 中， CB=3， CA=4， M 为 斜 边 AB 上一 动 点 过

2、点 M作 MD AC 于点 D， 过 M 作 ME CB 于点 E， 则线 段 DE 的最小 值为 （四川省 竞赛试题 ） 解题思路： 四 边 形 CDME 为 矩形， 连结 CM， 则 DE= CM，将 问题转 化 为 求 CM 的最小 值 【例 2】 如 图 ，在矩形 ABCD 中， AB=20cm， BC=10cm若在 AC， AB 上各取一点 M， N，使 BM+MN 的 值 最小，求 这 个最小 值 （北京市 竞赛试题 ） A B D C M N 解 题 思路： 作点 B关于 AC 的 对 称点 B， 连结 BM， BA， 则 BM= BM，从而 BM+MN= BM+MN要 使 BM

3、+MN 的 值 最小，只需使 BM 十 MN 的 值 最小， 当 B， M， N 三点共 线 且 BN AB时 ， BM+MN 的 值 最小 【例 3】 如 图 ，已知 ABCD， AB=a， BC=b( ba )， P 为 AB 边 上的一 动 点，直 线 DP 交 CB 的延 长线 于 Q求 AP+BQ 的最小 值 （永州市 竞赛试题 ） P D C A B Q 解 题 思路： 设 AP=x ，把 AP， BQ 分 别 用 x 的代数式表示，运用不等式以 abba 222 或 a+b2 ab （当且 仅 当 a=b 时 取等号）来求最小 值 【例 4】 阅读 下列材料： 问题 如 图 1，

4、一 圆 柱的底面半径 为 5dm，高 AB为 5dm， BC是底面直径，求一只 蚂蚁 从 A 点出 发 沿 圆 柱表面爬行到 C 点的最短路 线 小明 设计 了两条路 线 ： 图 2图 1 摊平 沿 AB 剪开 A CB B A C 路 线 1： 侧 面展开 图 中的 线 段 AC如 图 2 所示 设 路 线 l 的 长 度 为 l1， 则 l12 =AC2=AB2 +BC2 =25+(5) 2=25+252 路 线 2：高 线 AB 十底面直径 BC如 图 1 所示 设 路 线 l 的 长 度 为 l2， 则 l22 = (BC+AB)2=(5+10)2 =225 l12 l22 = 25+

5、252 225=252 200=25(2 8)， l12 l22 ， l1 l2 所以， 应选择 路 线 2 (1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成： “圆柱的底面半径为 1 分米，高 AB 为 5 分米 ”继 续按前面的路线进行计算请你帮小明完成下面的计算： 路线 1： l12=AC2= ； 路线 2： l22=（ AB+BC） 2= l12 l22， l1 l2 （ 填 “ ”或 “ ”），所以 应选择路线 （填 “1”或 “2”）较短 (2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 r，高为 h时，应如何选择上面的两 条路线才能使蚂蚁从点 A出发沿圆柱表面爬行到 C

6、点的路线最短 （衢州市中考 试题 ） 解 题 思路： 本 题 考 查 平面展开一最短路径 问题 比 较 两个数的大小，有 时 比 较 两个数的平方比 较简 便比 较 两 个数的平方，通常 让这 两个数的平方相减 【例 5】 如图，已知边长为 4 的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中 AF=2， BF=1为了合理利用这 块钢板，将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP，使点 P 在 AB 上，且要求面积最大，求钢板的 最大利用率 （中学生数学智能通讯赛试题） N M E F D C A BP 解题思路： 设 DN=x， PN=y，则 S=xy 建立矩形 MDNP 的面积 S 与 x 的函数

7、关系式，利用二次函 数性质求 S的最大值，进而求钢板的最大利用率 【例 6】 如图，在四边形 ABCD 中， AD=DC=1， DAB= DCB=90， BC， AD 的延长线交于 P， 求 ABS PAB的最小值 （中学生数学智能通讯赛试题） 1 1 C P A B D 解题思路： 设 PD=x(x1)，根据勾股定理求出 PC，证 Rt PCD Rt PAB，得到 PCPACDAB ，求出 AB，根据三角形的面积公式求出 y=ABS PAB，整理后得到 y 4，即可求出答案 能力训练 A级 1如图，将两张长为 8、宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形容易知道当两张纸条 垂直时，菱形

8、的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 （烟台市中考试题） 2 D 是半径为 5cm 的 O 内一点，且 OD=3cm，则过点 O 的所有弦中，最短的弦 AB= cm （广州市中考试题） 3如图，有一个长方体，它的长 BC=4，宽 AB=3，高 BB1=5一只小虫由 A 处出发，沿长方体表 面爬行到 C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 （ “希望杯 ”邀请赛试题） A F E A A 1 D B D 1 B 1 C 1 C A B C O 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4如图，在 ABC 中， AB=10， AC=8， BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆

9、与 CB， CA 分别相 交于点 E， F，则线段 EF 长度的最小值是 ( ) （兰州市中考试题） A 4 2 B 4.75 C 5 D 4.8 5如图，圆 锥的母线长 OA=6，底面圆的半径为 2一小虫在圆锥底面的点 A 处绕圆锥侧面一周又 回到点 A，则小虫所走的最短距离为 ( ) （河北省竞赛试题） A 12 B 4 C 6 2 D 6 3 6如图，已知 MON= 40， P 是 MON 内 的一定点，点 A， B 分别在射线 OM， ON 上移动，当 PAB 周长最小时， APB 的值为 ( ) （武汉市竞赛试题） A 80 B 100 C 120 D 140 7如图， AD是以等边

10、三角形 ABC 一边 AB为半径的四分之一圆周， P 为 AD 上任意一点若 AC=5， 则四边形 ACBP 周长的最大值是 ( ) （福州市中考试题） A 15 B 20 C 15+5 2 D 15+5 5 N M N M A O P B D C B C A D B A P E 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 8如图，在正方形 ABCD 中， AB=2， E 是 AD 边上一点（点 E 与点 A， D 不重合）， BE 的垂直平 分线交 AB 于 M，交 DC 与 N (1) 设 AE=x，四边形 ADNM的面积为 S，写出 S 关于 x 的函数关系式 (2) 当 AE 为何值时，

11、四边形 ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题） 9如图，六边形 ABCDEF 内接于半径为 r的 O，其中 AD 为直径，且 AB=CD=DE=FA (1) 当 BAD=75时，求 BC的长； (2) 求证： BC AD FE； (3) 设 AB=x ，求六边形 ABCDEF 的周长 l关于 x的函数关系式，并指出 x为何值时， l 取得最大值 10如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=2， BC=3，点 P是 AD边上的一动点（ P 异于 A、 D） Q 是 BC 边上任意一点连结 AQ， DQ，过 P 作 PE DQ 交于 AQ 于 E，作 PF/AQ 交 DQ 于 F

12、 (1) 求证： APE ADQ； (2) 设 AP 的长为 x，试求 PEF 的面积 S PEF关于 x 的函数关系式，并求当 P 在何处时， S PEF取 得最大值？最大值为多少？ (3) 当 Q 在何处时， ADQ 的周长最小？（须给出 确定 Q 在何处的过程或方法，不必证明） （无锡市中考试题） F E A B D CQ P 11在等腰 ABC 中， AB=AC=5， BC=6动点 M， N 分别在两腰 AB， AC 上 (M 不与 A， B 重合， N 不与 A， C 重合 )，且 MN BC将 AMN 沿 MN 所在的直线折叠，使点 A的对应点为 P (1)当 MN 为何值时，点

13、P恰好落在 BC 上？ (2)设 MN=x， MNP 与等腰 ABC 重叠部分的面积为 y，试写出 y与 x 的函数关系式，当 x 为何值 时， y的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题） N B C A M B 级 1已知凸四边形 ABCD 中， AB+AC+CD= 16，且 S 四边彤 ABCD=32，那么当 AC= ， BD= 时，四边形 ABCD 面积最大，最大值是 （ “华杯赛 ”试题） 2如图，已知 ABC 的内切圆半径为 r， A=60， BC=2 3 ，则 r 的取值范围是 （江 苏省竞赛试题） y x r C OFE E D F O B C A O B C A A B P

14、 D G A B 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 3如图 O 的半径为 2， O 内的一点 P到圆心的距离为 1，过点 P 的弦与劣弧 AB组成一个弓形， 则此弓形面积的最小值为 4如图， ABC 的面积为 1，点 D， G， E和 F分别在边 AB， AC， BC 上， BD DA， DG BC， DE AC， GF AB，则梯形 DEFG 面积的最大可能值为 （上海市竞赛试题） 5 已知边长为 a 的正三角形 ABC，两顶点 A， B分别在平面直角坐标系的 x轴， y轴的正半轴上滑 动，点 C 在第一象限，连结 OC，则 OC 的最大值是 （潍坊市中考试题） 6已知

15、直角梯形 ABCD 中， AD BC， AB BC， AD=2， BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+ PD 取最小值时， APD 中边 AP上的高为 ( ) （鄂州市中考试题） A 17172 B 17174 C 17178 D 3 Q A D B C A B D CP P 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 7如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，点 P 是 BC边上不与点 B， C 重合的任意一点，连 结 AP， 过点 P 作 PQ AP交 DC 于点 Q设 BP的长为 xcm， CQ 的长为 ycm (1) 求点 P在 BC 上运动的过程中 y 的最大值；

16、(2) 当 y=41 cm 时，求 x 的值 （河南省中考试题） 8如图， y 轴正半轴上有两点 A(0， a)， B(0， b)，其中 ab0在 x轴上取一点 C，使 ACB最大， 求 C 点坐标 （河北省竞赛试题） 9如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 M， N 分别在 BC， CD 上，使得 CMN 的周长为 2求： (1) MAN 的大小； (2) MAN 的面积的最小值 （ “宇振杯 ”上海市竞赛试题） 10，如图，四边形 ABCD 中， AD= CD， DAB= ACB=90，过点 D 作 DE AC 于 F， DE 与 AB 相交于点 E (1) 求证： ABAF=CBCD

17、； (2)已知 AB=15cm， BC=9cm， P 是射线 DE 上的动点，设 DP=xcm(x0)，四边形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y关于 x 的函数关系式； 当 x为何值时， PBC 的周长最小？求出此 时 y的值（南通市中考试题） M D C A B N F E D A B C P y x l O A B x y H E A C BG F 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 11如图，已知直线 l ： kkxy 42 (k 为实数 ) (1) 求证：不论 k为任何实数，直线 l 都过定点 M，并求点 M的坐标； (2) 若直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴交于 A， B 两点，求 AOB 面积的最小值（太原市竞赛试题） 12如图，在 Rt ABC 中， C=90， BC=2， AC=x，点 F在边 AB 上，点 G， H 在边 BC 上，四边 形 EFGH 是一个边长为 y的正方形，且 AE=AC (1) 求 y关 于 x的函数解析式； (2) 当 x为何值时， y取得最大值？求出 y的最大值（上海市竞赛试题）