初中九年级数学竞赛培优讲义专题25 平面几何的最值问题_答案.docx

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1、专题 25 平面几何的最值问题 例 1 12 5 提示：当 CM AB 时， CM 值最小， CM 12 5AC BCAB 例 2 如图， BM MN的最小值为点 B到 AB的距离 BF， BE 45AB BC AC cm， BB 85cm， AE 22 2 22 0 4 5 8 5A B B E cm 在 ABB中，由 1 2 BBAE 1 2 ABBF，得 BF 16cm 故 BM MN 的最小值为 16cm 例 3 由 APD BPQ，得 AP ADBP BQ ，即 BQ b a xAD BPAP x ， AP BQ x abbx x abx 22abx abx ，当且仅当 x abx

2、即 x ab 时，上式等号成立 故当 AP ab 时， AP BQ最小，其最小值为 2 ab b 例 4 221 25l ， 22l 49， l1 l2，故要选择路线 l 较短 2221l h r ， 222 2l h r ， 2 2 212 44l l r r h 当 r 24 4h 时， 2212ll ，当 r 24 4h 时， 2212ll ，当 r 24 4h 时， 2212ll 例 5 设 DN x， PN y，则 S xy，由 APQ ABF，得 41 2 4 2y x 即 x 10 2y，代入 S xy得 S xy y(10 2y)，即 S 2 25 25 22y ，因 3 y

3、4，而 y 5 2 不在自变量 y的取值范围内，所以 y 5 2 不是极值点，当 y 3 时， S(3) 12，当 y 4 时， S(4) 8，故 Smax 12 此时，钢板的最大利用率 2 121 4 2 12 80% 例 6 设 PD x(x 1)， 则 PC 2 1x ，由 Rt PCD PAB，得 AB 2 11CD PA xPC x ，令 y ABS PAB，则 y 1 2 AB PA AB 21 21xx ，求 y 的最小值，有下列不同思路：配方： y 21 2 1 224 2 1 2 1xxxx ，当 12 21x x ，即当 x 3 时， y有最小值 4 运用基本不等式： y

4、12 22 21x x 32 1221x x 2 4， 当 12x 21x ，即当 x 3 时， y 有最小值 4. 借用判别式，去 分母，得 x2 2（ 1 y） x 1 2y 0，由 4（ 1 y） 2 4（ 1 2y） 4y（ y 4） 0，得 y4， y 的最小值为 4. A级 1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大 . 2. 8 3. 74 4.D 5. D 6. B 7. C 提示：当点 P 与点 D 重合时，四边形 ACBP 的周长最大 . 8. （ 1）连结 ME，过 N 作 NF AB 于 F，可证明 RtEB A RtMNF，得 MF AE x. ME2 A

5、E2 AM2，故 MB2 x2 AM2，即（ 2 AM） 2 x2 AM2， AM 1 14 x2， S 2AM DN AD 2AM AF 2 AM AM MF 2 AM AE 2（ 1 14 x 2） x 1 2 x 2 x 2. （ 2） S 12 （ x2 2 x 1） 52 12 （ x 1） 2 52 .故当 AE x 1 时，四边形 ADNM 的面积最大，此时最大值为 52 . 9. （ 1） BC 长为 23r .（ 2）提示：连结 BD. （ 3）过点 B 作 BM AD 于 M，由（ 2）知四 边形 ABCD为等腰梯形，从而 BC AD 2 AM 2r 2 AM.由 BAM

6、DAB，得 AM 2ABAD 22xr ， BC 2r 2xr .同理， EF 2 r 2xr .l 4 x 2（ 2 r 2xr ） xr （ x r） 2 6 r （ 0 x 2 r） .当 x r 时， l 取得最大值 6 r. 10. （ 1） APE ADQ， AEP AQD， APE ADQ.（ 2）由 APE ADQ， PDF ADQ， SPEF 12 SPEQF，得 SPEF 13 x2 x 13 （ x 32 ） 2 34 .故当 x 32 时，即 P 是 AD 的中点时， SPEF取得最大值，（ 3）作 A 关于直线 BC 的对称点 A，连结 DA交 BC 于 Q，则这个

7、Q 点就是使 ADQ 周长最小的点，此时 Q 是 BC 的中点 . 11. （ 1）点 P 恰好在 BC 上时，由对称性知 MN 是 ABC 的中位线， 当 MN 12 BC 3 时， 点 P 在 BC 上 .（ 2）由已知得 ABC 底边上的高 h 225-3 4. 当 0 x3时，如图 1，连结 AP 并延长交 BC 于点 D， AD 与 MN 交于点 O. 由 AMN ABC，得 AO 23 x， y SPMN SAMN 12 x23 x 13 x2即 y 13 x2.当 3 时， y 的值最大，最大值是 3. 当 3 x 6 时，如图 2，设 PMN 与 BC 相交于点 E， F， A

8、P 与 BC相交于 D.由 中知 AO 23 x， AP 43 x， PD AP AD 43 x 4， PEF ABC.， PEF ABC SS ( PDAD )2 ( 4 434x )2，即 PEF ABC SS 2-3)9x（ . SABC 12， SPEF 43 （ x 3） 2. y S AMN SPEF 13 x 2 4 3 （ x 3） 2 x2 8x 12（ x 4） 2 4.故当 x 4 时， y 的最大值为 4.综上，当 x 4 时， y 的值最大，最大值为 4. B级 1.8 8 2 32 提示：当 CAB ACD 90时，四边形 ABCD 的面积达到最大值 . 2. 0

9、r1 提示：设 BC a， CA b， AB c， b c 2 3 （ r 1），又 12 bcsin60 SABC 12 （ a b c） r，即 12 bc32 12 2 3 2 3 （ r 1） r， . bc 4r（ r 2） . b， c 为方程 x2 2 3 （ r 1） x 4r（ r 2） 0 的两个根，由 0，得（ r 1） 22.因 r 0， r 1 0， 故 r 12，即 0 r1. 3. 249 3 提示：过 P 作垂直于 OP 的弦 AB，此时弓形面积最小 . 4. 13 提示：设 ADAB x，则 BDBA 1 x CGCA ， ADG ABC SS x2， BDE

10、 ABC SS （ 1 x） 2 CFG ABC SS ， S 梯形 DEFG 1 x22 （ 1 x） 2 3（ x 23 ） 2 13 . 5. 312 a 提示：当 OA OB 时， OC 的长最大 . 6. C 7. （ 1）由 RtABP RtPCQ，得 BP CQ ABCP ，即 x y 44 x ， y 14 （ x 2） 2 1（ 0 x 4） .当 x 2 时 , y 最大值 1cm.（ 2）由 14 14 （ x 2） 2 1，得 x（ 2 3 ） cm 或 （ 2 3 ） cm. 8. 当过 A， B 两点的圆与 x 轴正半轴相切时，切点 C 为所求 .作 OD A B

11、于 D.， OD 2 OB 2 B D 2 2() 2ab 2()2ab ab， OD ab 故点 C 坐标为（ ab ， 0） . 9. （ 1）如图，延长 CB 到 L，使 BL DN，则 RtABL RtADN，得 AL AN， 1 2， 又 N 2 CN CM DN BM BL BM ML，且 AM AM， NAL DAB 90. AMN AML，故 MAN MAL 902 45. （ 2）设 CM x， CN y， MN z，则 2 2 2 2 2 2 2 , 2 ,x y z x y z x y z x y z ，于是，（ 2 y z） 2 y2 z2.整理得 2y2（ 2z 4）

12、 y （ 4 4z） 0. y 0，故 4（ z 2） 2 32（ 1 z） 0，即（ z 2 2 2 ）（ z 2 2 2 ） 0.又 z 0，故 z2 2 2，当且仅当 x y 2 2 时等号成立 .由于 SAMN SAML 12 MLAB 12 MN1 2z ，因此， AMN 的面积的最小值为 2 1. 10. （ 1）提示：证明 ADF BAC.（ 2） AB 15， BC 9， ACB 90， AC 22AB BC 2215 9 12， CF AF 6， 1 9 6 3 27 02y x x x BC（定值）， PBC的周长最小，就是 PB PC 最小， 由（ 1）知，点 C 关于直

13、线 DE 的对称点是点 A，所以 PB PC PB PA，故只要求 PB PA 最小显然当 P、 A、 B三点共线时 PB PA 最小，此时 DP DE， PB PA AB 由（ 1），角 ADF FAE， DFA ACB 90，得 DAF ABC EF BC，得 AE BE 12 AB 152 ， EF 92 AF BC AD AB，即 6 9 AD 15， AD 10 Rt ADF中， AD 10， AF 6， DF 8 DE DF FE 8 92 252 当 x 252 时， PBC的周长最小，此时 y 1292 11（ 1）令 k 1，得 y x 2；令 k 2，得 y 2x 6，联立

14、解得 x 4， y 2，故定点（ 4， 2） （ 2）取 x 0，得 OB 2 4k（ k 0），取 y 0，得 OA 42 0k kk 于是 ABO 的面积 1 1 4 2 2 4 022 kS O A O B k kk ，化简得 28 8 2 0k S k 由 28 64 0S 得 2 16 0SS ，故 S16将 S 16 代入上述方程，得 k 12 故当 k 12 ， S值最小 12（ 1）如图，延长 EF 交 AC 于点 D， DF BC， Rt ADF Rt ACB， AE AC x， 2222D E x x y x y y ， 22 2x y y yxyx ， 2x 2y xy 22x xy y ， 两边平方整理得 (x2 2x 2)y2 (x3 2x2 4x)y 2x2 0解得 2 222xy xx (y x舍去 ) （ 2）由（ 1） 22 21 2 2 2 22y x x 当且仅当 2x x ，即 2x 时，上式 等号成立故当 2x 时， y去最大值 21