初中九年级数学竞赛培优讲义专题26 分而治之_答案.docx

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1、专题 26 分而治之 分类讨论 例 1 R 2.4cm 或 3cm R4cm 例 2 分三种情况讨论： 当 x 3 时，方程为 2x 1 x 10 解得 113x ，符合 x 3，故 113x 是一解； 当 3 x2 时，方程为 5 x 10 解得 x 5，不符合 3 x2，故舍去； 当 x 2 时，方程为 2x 1 x 10 解得 x 9，符合 x 2，故 x 9 也是一解 综合 可得原方程的解为 113x 或 x 9 例 3 当 k 6 时，得 x 2；当 k 9 时，得 x 3； 当 k6 且 k9 时，解得 1 96x k ， 2 69x k ； 当 6 k 1， 3， 9 时， x1

2、 是整数，这时 k 7， 5， 3， 3， 15； 当 9 k 1， 2， 3， 6 时， x2 是整数，这时 k 10， 8， 11， 7， 12， 15， 3 综上所述， k 3， 6， 7， 9， 15 时，原方程的解是整数 例 4 （ 1） 22CP ； （ 2） 247CP ； （ 3） 如图 1 所示，设 PM PQ 且 PM PQ，点 M 在 AB 上，令 PQ x， CPQ CAB， 12 512 5 5 xx ， 解得 6037x 如图 2 所示，当 PMQ 90，且 PM MQ，点 M 在 AB 上，令 PQ y， CPQ CAB， 12 1 5212 5 5 yy ，解得

3、 12049y 例 5 若 n 为奇数，设 n 2k 1， k 为大于 2 的整数，则可写成 n k (k 1)，显然符合 要求 若 n 为偶数，则可设 n 4k，或 n 4k 2， k 为大于 1 的自然数当 n 4k 时， n (2k 1) (2k 1)，且易知 2k 1 与 2k 1 互质，假如它们有公因子 d2，则 d 2，但 2k 1， 2k 1 均为奇数，此为不可能；当 n 4k 2 时， n (2k 1) (2k 3)，且易知 2k 1 与 2k 3 互质，事实上假如它们有公因子 d2，设 2k 1 nd， 2k 3 md， m， n 均为自然 数，则有 (m n)d 4，可见

4、d 4，矛盾 例 6 当 a b 0 时，取 m 1， n 1，则 am bn a b 0 成立， bm an b a 0 成 立，验证知满足所给不等式当 a b 0 时，取 m 1， n 1，则 am bn a b 0 成立， bm an b a 0 成立，也验证知满足所给不等式 能力训练 1. 12 2 2. 2 或 22.5 3. 80 或 30 提示： 分高 AD 在 ABC 内部或外部两种情况 4. 4 个 提示： 先在坐标平面内描出 A， B 两点，连接 AB， 因题设中未指明 PAB 的哪个角是直角，故应分别就 A， B， P 是直角来讨论 设点 P(0， x)，运用几何知识建立

5、 x 的方程若 A 90，则 P1(0， 2)；若 B 90，则 P2(0， 3)；若 P 90，则 PA2 PB2 AB2，而 PA2 (2 x)2 22， PB2 (x 3)2 22， AB2 (2 3)2， (2 x)2 22 (x 3)2 22 52， x 1 或 x 2，即 P3(0， 1) 或 (0， 2) 5. 2 或 3 提示： 分 A,B 位于 l 同侧或异侧两种情况讨论 6. 75或 15 提示： 运用圆的对称性 7. 3 或 3 2 8. S 32 且 S 3提示： S 2m 3， 0， m 34 且 m 0 9. B 10. D 提示： 以 A,B 为顶点的平行四边形可

6、以分为两类 ：以 AB 为边的， 且面积为 2 的平行四边形共 6 个；以 AB 为对角线，且面积为 2 的平行四边形共 3 个 .故满 足条件的阵点平行四边形的个数为 9 个 . 11. C 12.A 13.A 14.C 提示：分 PAD PBC 及 PAD CBP 两种情况讨论 .15.A 16.提示：当函数是一次函数，即 2 +3+2 = 0 且 +1 0时，图像与 x 轴有交点；当 2 +3+2 0 且 0时，图像与 x 轴有交点，综上知 a 的取 值范围为 a-1. 17.(1)在正方形 OABC 中， CB=OC=OA=AB=2，又点 D 是 BC 的中点， CD=1， 即 D（

7、1,2） .而点 D（ 1,2）在 = 上， 2 = 1. k=2.（ 2）（ ）当 0x 0) 的图像上 . PR=OE=x， PE=RO=y=2. PQ=PE-EQ=2 2. S=PRPQ=(2 2) = 22.综上，当 0x1 时， S=2x-2. 18. 提示： （ 1）当 P 在 CA 边上时， x=2，即从点 C 出发 2 秒时， BCP = 14 ABC；当点 P 运动在 AB 边上时， x=15.5，即从点 C出发 15.5秒时， BCP = 14 ABC. 19.（ 1） 23 （ 2） M（ 23， 0）， 直线 AB 解析式为 = 33 +2. （ 3） MOB 是等腰三

8、角形，且顶角 MBO=120 .假设满足 条件的点 P 存在，只需 2=120，得 P 点坐标为（ 43， 6） . 20.（ 1）当 a=1 时， = ()2 +2+1.顶点 A 的坐标为（ m， 2m+1） . P 点坐标为（ 1,3），折 直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把点 A， P 的坐标代入，得 2+1 = +3 = + -得 2m-3=(m-1)k. 1(若 m=1，则 A， B， P 三点重合，不合题意 )， k=2， b=1.直线 AB 的解析式是 y=2x+1， 得 2的顶点 B 的坐标为（ 0,1） . 2与 1关于点 P 成中心对称，抛物线的开口大小相同，方 向相

9、反，得 2的解析式是 = 2 +1.点 A， B 关于点 P（ 1,3）成中心对称，如图 1 所示， 作 PE y 轴于点 E，作 AF y 轴于点 F，则 BPE BAF， AF=2PE，即 m=2. （ 2）在 Rt ABF 中， AB=22 +42 = 25 2007,若 i=2007，则 j=2007，即除 2007点涂成红色外，其余均没有涂 到；若 2007,则 2 20072即 2 i 4014，故 2 2007i 2 007.又 i2 为偶数，则 2 i 2 007,表示 j =2 007，即表明 207P 点永远涂不到红色 . 24设甲队有 x人，乙队有 y人，丙队有 z人，根据题意，有 x+y+z=13, xy13，故甲队人数少于 4人，即甲队只有 2人或 3人 .于是，这三队的人数情况只能 是如下四种情形 : x=2, y=3 , z=8，比赛场数 =2 (3+8)+3 8=46，不合题意 ; x=2,y=4,z= 7，比赛场数 =2 (4+7)+4 7=50，不合题意 ; x=2,y=5,z=6，比赛场数 =2 (5+6)+5 6=52，不合题意 ; x=3 , y=4， z =6，比赛场数 =3 (4+6)+4 6=54,符合题意 .由此可知， 甲、乙、丙三支球队的人数分别为 3,4,6.