初中九年级数学竞赛培优讲义专题29 方程思想.doc

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1、 专 题29 方程思想 阅读与思考 所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量 关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法 . 应用方程思想解决问题的常见途径有： 1引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解； 2突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨； 3构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关 问题； 4列方程、方程组解应用题； 5通过列方 程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化 17 世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：

2、把所有问题 化 归 数学问题 化 归 代数问题化 归 方程问题 虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方 程思想的重要性 构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求 最值等方面有广泛的应用常用的构造方法有： 用根的定义构造； 用韦达定理的逆定理构造； 对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程. 例题与求解 【例 1】 已知： a ， b ， c ， d 是四个不同的有理数，且（ a c） (a d) 1， (b c)(b d) 1， 那么 (a 十 c) (b c)的值是 _ _

3、 （江苏省竞赛试题） 解题思路： 本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入 手 . 仔细观察已知两个等式特点， a ， b 可看作是方程 (x c)(x d) 1 的两根，利用方程思想揭示题 设条件与结论的内在规律 【例 2】 化简 5353 的结果是 ( ) A 10 B 2 C 5 D 2 （武汉市选拔赛试题） 解题思路： 设 5353 x ，将二次根式的化简问题转化为解方程 . 【例 3】 已知实数 x ， y 满足 324 24 xx ， 324 yy ，则 4 44 yx 的值为 ( ) A. 7 B 2131 C 2137 D 5 （全国初中数学

4、联赛试题） 解题思路： 本题可以构造一元二次方程，利用根与系数关系 韦达定理解决 . 【例 4】 已知 2 yxxy ， 3zxxz ， 4 zyyz ，求 zyx 257 的值 （“数学周报杯”天津竞赛试题） 解题思路： 要求的代数式中含三个字母，正好与已知的三个等式中含的三个字母相同，所以可以将 已知的三个等式组成二元二次方程组，求出这些未知数的值 本例已知的三个等式中含的三个字母相同，结构相同，排列位置循环转，根据这些特点可构造二 次方程求解，这也是解决这类问题的常见方法. 【例 5】 如图， Rt ABC 中， C 90， BC 6， AC 8点 P， Q 都是斜边 AB 上的动点，点

5、 P 从 B 向 A 运动（不与点 B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动， BP AQ.点 E， D 分别是点 A， B 以 Q， P 为对 称中心的对称点， HQ AB，垂足为点 Q，交 AC 于点 H，当点 E 到达顶点 B 时， P， Q 同时停止运动， 当 BP 长为何值时， HDE 为等腰三角形？ （台州市中考试题改编） 解题思路： 本题可结合图形，从几何知识中找等量关系列方程 利用方程思想解几何题，通常是对某几何量进行合理设元，根据几何性质正确列出方程、方程 组，然后化归为解方程、方程组的有关问题 著名数学家波利亚曾说：“为了使问题的概念完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可

6、以引 入辅助元素”通过引入辅助元素，有利于各知识领域之间的横向过渡，有利于转化问题解决间 题引入辅助元素的常见形式有： 引入参数； 引入辅助方程； 引入辅助函数； 引入辅助配对代数式； 恰当作辅助线； 引入辅助命题 【例 6】 周长为 6，面积为整数 的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明 有几个 （全国初中数学联赛试题） 解题思路： 设直角三角形的斜边为 c，直角边分别为 a， b，面积为 s由题设条件及几何知识可得 到关于以 a， b， c， s 的方程组，这样，符合条件的直角三角形是否存在的探讨就转化方程组是否有解 的讨论 能力训练 1设 512a ，则 5 4 3

7、2 322a a a a aaa _. （全国初中数学联赛试题） 2一个读书小组有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这个读书小组有六本书，书名分别是 A， B， C， D， E， F每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的 2， 2， 4， 3， 5 本书，而书 A， B， C， D， E 分别被小组中的 1， 4， 2， 2， 2 位同学读过，那么，吴姓同学读过 _ 本书，书 F 被小组中 _位同学读过 3设 022 2 kxx ， 022 2 kyy ，且 2yx ，那么 k _. （河南省竞赛试题） 4 x， y， z 是实数，并且满足 0 zyx ， 2xy

8、z ，则 x y z的最小值是 _ （北京市竞赛试题） 5如图， AA， BB分别是 EAB， DBC 的平分线，若 AA BB AB，则 BAC _ （全国初中数学联赛试题） 6已知 21 2 7 0 x y x y ，则 22 23 yxyx 的值为 ( ) A 0 B 4 C 6 D. 12 7 某单位一次在快餐店订了 22 盒盒饭，共花费 140 元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为 8 元、 5 元、 3 元，那么可能的不同订餐方案有 ( ) （山东省竞赛试题） A.1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8已知 a ， b 都是负实数，且 1 1 1 0a b a b

9、，那么 ba 的值为 ( ) （江苏省竞赛试题） A 152 B 152 C. 152 D 152 9甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么 ( ) A甲比乙大 5 岁 B甲比乙大 10 岁 C乙比甲大 10 岁 D乙比甲大 5 岁 （全国初中数学竞赛试题） 10已知 133 224 bbaa ，且 2 ba ，则 63 3 1abb 的 值是 ( ) （山东省竞赛试题） A 35 B 36 C 35 D 36 11已知 222 yxyx ，求 22 yxyx 的取值范围 （黄冈市竞赛试题） 12.如图，在 Rt ABC 中， ABC 90， O 是 AB 上

10、一点 . 以 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，交 AC 于 E、 F，交 AB 于 D. 若 E 是 DF 的中点，且 AE： EF 3： 1， FC 4，求 CBF 的正弦值及 BC 的长 （北京市海淀区中考试题） 第 12 题图 F E OD A C B 13.如图，在四边形 ABCD 中， AD DC 1， DAB DCB 90， BC， AD 的延长线交于 P，求 AB S ABP 的最小值 . （四川省竞赛试题） 第 13 题图 C D P A B 14.设 a1， a2， b1， b2 都为实数， a1 a2，满足（ a1 b1）（ a1 b2）（ a2 b1） (a2 b2)

11、1求证： （ a1 b1）（ a2 b1）（ a1 b2） (a2 b2) 1. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 15.已知 a， b， c 都是正整数，且抛物线 cbxaxy 2 与 x 轴有两个不同交点 A， B若 A， B 到 原点的距离都小于 1，求 cba 的最小值 （全国初中数学联赛试题） 16.在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完全平方数的点称为“好点” . 求 二次函数 490790 2 xy 的图象上所有“好点”的坐标 （数学周报杯全国竞赛试题） 17已知 a， b， c 为正数，满足以 32 cba ， 1 4b c a c a b a b cbc c

12、a ab 证明： 以 a ， b ， c 为三边长可构成一个直角三角形 （全国初中数学联赛试题） 18. 一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000km 后报废；若把它安装在后轮，则 自行车行驶 3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自 行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车 将能行驶多少 km? （全国初中数学竞赛试题） 19.如图， AB 为半圆 O 的直径，动点 C 在半圆上， CD AB 于 D， O1 与 AC 内切且与 AB， CD 相切， O2 与 CB 内切且与 AB， CD 相切， E， F 是 AB 上的两个切点，求证： ECF 45 . FE DOA B C O 1 O 2