初中九年级数学竞赛培优讲义专题30 运动与变化——函数思想.doc

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1、 专 题30 运动与变化- - - - - - 函数思想 阅读与思考 所谓函数思想，就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系 表示出来，运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题 . 函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用： 1利用函数图象解决问题； 2用函数的观点研究方程（组）、不等式（组）的解； 3建立目标函数，运用函数的性质去解决问题 . 方程与函数有着深刻的内在联系，这种联系体现在：方程的解是对应的函数图象交点的横坐 标函数图象的直观性，使得我们对方程的理解有了一种新的途径， 函数是初中数学的主要内容，有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数，要研究

2、它们的 性质和图象函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题 应熟悉以下基本问题： 常见函数的性质、图象、画法； 常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系； 确定常见函数解析式的方法；函数与方程（组）的联系. 例题与求解 【 例 1】 同学们都知道，一次函数 0 kbkxy 的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义， 比如在图 1 中， x 表示时间（小时）， y 表示路程（千米） 那么从图象上可以看出，某人出发时（ x 0）， 离某地（原点） 2 千米，出发 1 小时，由 x 1，得 y 5，即某人离某地 5 千米，他走了 3 千米 在图 2 中， OA， BA 分别表示

3、甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题： (1)如果用 t 表示时间， y 表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式：甲 _， 乙 _; (2)甲的运动速度是 _千米 /时； (3)甲、乙同时出发，相遇时，甲比乙多走 _千米 （常州市中考试题） x y O2 1 1 2 3 1 2 3 4 5 x y B A 10 5 15 20 O 1 2 3 4 5 图1 图2 解题思路： 本例采用新视角将行程问题用图示法表示，解题的关键是领会“一次函数”表示行程问 题的意义，从图象获得与行程问题相关量的信息 . 对于某些从正面直接求解比较困难的数学问题，通过对题设与结论的观察与分析，构

4、造辅助元 素，使问题结构更加清晰，解题过程更加简化，目标结论更为明确，这种解题方法称为构造法 构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造出一种新的数学形 式，常用的构造方法有： 构造实例； 构造反例； 构造方程； 构造函数； 构造图形. 【例 2】 对于方程 2 22x x m ，如果方程实根的个数恰为 3 个，则 m 值等于 ( ) A.1 B 3 C 2 D 2.5 解题思路： 可将 m 值一一代入原方程，逐一验证，直至筛选出符合条件的 m 的值本例的另一解 法是把讨论方程解的个数转化为讨论函数 2 22y x x 与函数 my 图象交点，利用函数图象解题 【例 3

5、】 已知 b， c 为整数，方程 05 2 cbxx 的两根都大于 1 且小于 0，求 b 和 c 的值 （初中数学联试题） 解题思路： 解本例的基本思路是利用求根公式，通过解不等式组求出 b， c 的值，显然较繁可以 构造二次函数，讨论二次函数 cbxxy 25 与 x 轴交点在 1 与 0 之间时所满足的约束条件入手 【例 4】 在直角坐标系中有以 A（ 1， 1）， B(1，一 1), C(1， 1）， D( 1， 1)为顶点的正方 形，设它在折线 y x a a 上侧部分的面积为 S试求 S 关于 a 的函数关系式，并画出它们的图象 （试题） 解题思路： CD， AB 平行于 x 轴且

6、与 x 轴的距离为 1，就 a 1， 0 a 1， 1 a 0， a 1 四种 情况讨论 . 【例 5】 如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个 柱子 OA， O 恰在水 面中心， OA 1.25 米由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流沿形状相同的各条抛物线落下，为使水 流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 米处时距水面最大高度为 2.25 米 (1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与 (1)相同，水池的半径为 3.5 米，要使水流不落到池外，此时水流的 最大高度应达多少米？（精确

7、到 0.1 米） （中考试题） A O 解题思路： 以 OA 所在的直线为 y 轴，过点 O 垂直于 OA 的直线为 x 轴，点 O 为原点，建立直角坐 标系，解题的关键是求出抛物线的解析式 . 着中考和试题的深，数学应用题已在“方程解应用”的次 ，内容，题变，解法，函数应用题的出现是中考的一个点. 函数应用题的数关系是以函数的形式出现，解题的关是与的函数关系式，运用 关函数的性质解题. 【例 6】 某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时，当 顾客在商场内消费满 一定金额后，按下表获得相应的返还金额 消费金额（元） 300400 400500 500600 600700

8、700900 返还金额（元） 30 60 100 130 150 注：“ 300 400”表示消费金额大于 300 元且小于或等于 400 元，其他类同 . 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，若购买标价为 400 元的商品，则 消费金额为 320 元，获得的优惠额为 400 (1 80%) 30 110(元 ) (1)购买一件标价为 1000 元的商品 ，顾客获得的优惠额是多少？ (2)如果顾客购买标价不超过 800 元的商品，要使获得的优惠额不少于 226 元，那么该商品的标价 至少为多少元？ （市中考试题） 解题思路： 本题考查的是分段函数的应用问题，在解答过程中要体

9、现分类讨论的思想 能力训练 1如图，是兰州市市内电话费 y（元）与通话时间 t（分钟）之间的函数关系的图象，则通话 7 分 钟需付电话费 _（元） （中考试题） y t 0.6 0.2 0 53 40 630 y x 930 330 0 5030 20 y (元 ) x (吨 ) 20 0 50 10 1题图 2题图 4题图 2如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系的函数图象，由图中可知行李的重量 只要不超过 _公斤，就可免费托运 3已知 a， b 为抛物线 y (x c)(x c d) 2 与 x 轴交点的横坐标， a b，则 |a c| |c b| 的值为 _ （初中数学试题）

10、 4为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费，每 月收取水费 y（元）与用水量 x（吨）之间的函数关系如图按上述分段收费标准，小明家三、四月份 分别交水费 26 元和 18 元，则四月份比三月份节约用水 _吨 （武汉5月调考试题） 5某校组织学生到距离学校 6 千米的光明科技馆去参观学生王红因事没能乘上学校的包车，于 是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下： 里 程 收费（元） 3 千米以下（含 3 千米） 8.00 3 千米以上，每增加 1 千米 1.80 (1)写出出租车行驶的里程数 x 3（千米）与费用 y（元）之间的函数关系式

11、： _ . (2)王红同学身上仅有 14 元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由 _ （常州市中考试题） 6已知边长为 1 的正方形 ABCD， E 为边 CD 的中点，动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 A B C E 运动设点 P 经过的路程为 x， APE 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数 图象大致为 ( ) x y O 2.5 1 x y O 2.5 1 x y O 2.5 11 2.5O y x A B C D （天津市试题） 7向高为 h 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 v 与水深 h 的函数关系如图所示，那么水瓶的 形态是 ( ) A B C D （黄冈市调考

12、试题） v h H O 8方程 014144 2 kxkx 的两根满足 0 1x 1 2x 2，则 k 的取值范围是 ( ) A 0 k 2 B 0 k 74 C 14 k 74 D 14 k 2 9某旅社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高 2 元，则 减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出以每次提高 2 元的这种方 法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高 ( ) A 4 元或 6 元 B 4 元 C 6 元 D 8 元 （无锡市试题） 10如图所示，矩形 ABCD 中， AB a， BC b， 3

13、b a 3b.在 AB， BC， CD 和 DA 上分别取 E， F， G， H，使得 AE AH CF CG，则四边形 EFGH 面积的最大值为 ( ) A 2()2ab B 2()4ab C. 2()8ab D 2()16ab 11某公司生产一种产品，每件成本为 2 元，售价为 3 元年销售量为 100 万件为获取更好的效 益，公司准备拿出一定资金做广告通过市场调查发现：每年投入的广告费用为 x（ 10 万元）时，产品 的年销量将是原售量的 y 倍；同时 y 又是 x 的二次函数，相互关系如下表 ： x 0 1 2 y 1 1.5 1.8 (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)如果把

14、利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（ 10 万元）与广告费 x(10 万元 )的函数关系式； (3)如果一年投入的广告费为 10 30 万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告 费的增大而增大？ （区选拔试题） G F H E D CB A 12. 如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线 为 x 轴，横断面的对称轴为 y 轴桥拱的 DDG 部分为一段抛物线，顶点 G 的高度为 8 米， AD 和 AD 是两侧高为 5.5 米的支柱 OA 和 OA为两个方向的汽车通行区，宽都为 15 米，线段 CD 和 DC 为两段 对

15、称的上桥斜坡，其坡度比为 1： 4. (1) 求桥拱 DGD所在抛物线的解析式及 CC的长； (2) BE 和 BE为支撑斜坡的立柱，其高都为 4 米，相应的 AB 和 AB为两个方向的行人及非机动 车通行区，试求 AB 和 AB的宽； (3) 按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于 0.4 米今有一大型运 货汽车，装载某大型设备后，其宽为 4 米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为 7 米；它能否从 OA （或 OA）区域安全通过？请说明理由 . （中考试题） O y x G E ED D C CB BA A 13有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰 PQR，

16、 PQ PR 5cm， QR 8cm.点 B， C， Q， R 在同一条直线 l 上 . 当 C， Q 两点重合时，等腰 PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 按箭头所示方向开始匀 速运动， t 秒后正方形 ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积为 scm2. 解答下列问题： (1) 当 t 3 秒时，求 s 的值； (2) 当 t 5 秒时，求 s 的值； (3) 当 5 秒 t 8 秒时，求 s 与 t 的函数关系式，并求出 s 的最大值 （吉林中考试题） l P Q R D CB A 14. 是否存在这样的实数 k，使得二次方程 023122 kxkx 有两个实数根，且两根都在 2

17、与 4 之间？如果有，试确定 k 的取值范围；如果没有，试述理由 . （“祖冲杯”邀请试题） 15.实数 a ， b ， c 满足 0 cbaca 证明： cbaacb 42 （“祖冲杯”邀请试题） 16.如图，已知点 A( 1， 0)， B(3， 0)， C(0， t )，且 0t ， tan BAC 3，抛物线经过 A， B， C 三点 .点 P(2， m)是抛物线与直线 l： 1 xky 的一个交点 (1)求抛物线的解析式； (2)对于动点 Q(1， n ），求 PQ QB 的最小值； (3)若动点 M 在直线 l 上方的抛物线上运动，求 AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值 . （内江市中考试题） y xO C BA 17. 点 A(4， 0)， B(0， 3)与点 C 构成边长分别是 3， 4， 5 的直角三角形，如果点 C 在反比例函数 ky x 的图象上，求 k 可能取的一切值 （“希望杯”邀请试题） 18.已知函数 2121 xxxy (1)在直角坐标系中作出函数图象； (2)已知关于 x 的方程 21213 xxxkx （ 0k ）有三个解，求 k 的取值范围 （“创新杯”试题） 19.当 1 x 2 时，函数 2242 22 aaaxxy 有最小值 2，求 a 所有可能取的值 （太原市试题）