天一联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第二次考试理数试题.pdf

1 天一联考“顶尖计划” 2020 届高中毕业班第二次考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 2 3 | 4 , | 0 , 1xA x x B x x = = 则 ()RBA= A.(1,2) B.1,2) C.( -2,1 D.(-2,1) 2.设 i 为虚数单位 ,z 为复数 ,若 |z i z+ 为实数 m,则 m= A.-1 B.0 C.1 D.2 3.执行如图所示的程序框图 ,若输 入 1, 2n= 则输出的 n 的值为 3.2A B.2 5.2C D.3 4.一个陶瓷圆盘的半径为 10 cm,中间有一个边长为 4 cm 的正方形花纹 ,向盘中投入 1000 粒米后 ,发现落在正 方形花纹上的米共有 51 粒 ,据此估计圆周率 的值为 (精确到 0.001) A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.147 5.将 3 个黑球、 3 个白球和 1 个红球排成 -一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不 相邻的排法共有 A.14 种 B.15 种 C.16 种 D.18 种 6.已知三棱锥 D - ABC 的外接球半径为 2,且球心为线段 BC 的中点 ,则三棱锥 D-ABC 的体积的最大值为 2.3A 4.3B 8.3C 16.3D 7.已知 AM， BN 分别为圆 221 : ( 1) 1O xy+ + =与 ( 222 : ( 2 ) 4O x y + =的直径，则 | AB MN 的取值范围为 A. 0,8 B.0,9 C.1,8 D.1,9 8.如图所示的 “数字塔 ”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为 2，除此之外每个 数字均为其两肩的数字之积，则该 “数字塔 ”前 10 层的所有数字之积最接近（ lg 20.3） 300.10A B.10400 500.10C D.10600 9.过抛物线 2 2 ( 0)y px p=的焦点 F 作直线与抛物线在第一象限交于点 A,与准线在第三象限交于点 B,过 点 A 作准线的垂线垂足为 H.若 tan AFH=2,则 | |AFBF= 5.4A 4.3B 3.2C D.2 2 10.已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab = 的左、右焦点分别为 12,FF 过 2F 作一条直线与双曲线右支交于 A,B 两点 ,坐标原点为 O,若 2 2 2 1| | , | | 5O A a b B F a= + =，则该双曲线的离心率为 15. 2A 10. 2B 15. 3C 10. 3D 11.记 n 个两两无交集的区间的并集为 n 阶区间，如 ( -,1 2,3为 2 阶区间设函数 ( ) , ln | |xfx x= 则 不等式 ff(x) +30的解集为 A.2 阶区间 B.3 阶区间 C.4 阶区间 D.5 阶区间 12.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ,球 1O 同时与以 A 为公 共顶点的三个面 相切 ,球 2O 同时与以 1C 为公共顶点 的三个面相切 ,且两球相切于点 F.若以 F为焦点 1,AB 为准线的抛物线经过 12,OO 设球 12,OO半径分别为 r1,r2, 则 1 2 rr= 51. 2A . 3 2B 2.1 2C D.2- 3 二、填空题 :本题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 . 13.已知 f(x) =ex + eax是偶函数 ,则 f(x)的最小值为 ____ 14.在直角坐标系中 ,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为 (1,1),(2,2),函数 f(x) = Asin(x +) ( 0 , 0 , | | )22A 的图象经过该三角形的三个顶点 ,则 f(x)的解析式为 f(x) =____ 15.数列 an满足递推公式 21n n na a a+=+ ,且 1 2 2 0 1 9 2 0 2 0, 2 0 2 0a a a a= =，则 2 2 21 2 2 0 1 9a a a+ + + =____ 16.若存在实数 k,b 使得不等式 f(x)kx + bg(x)在某区间上恒成立 ,则称 f(x)与 g(x)为该区间上的一对 “分离函 数 ”,下列各组函数中是对应区间上的 分离函数 的有 ____. ( 填上所有正确答案的序号 ) 0 , ) , ( ) sin , ( ) ta n2x f x x g x x = =x; 22 1 , ) , ( ) 1 , ( ) 1x f x x g x x + = = + 2, ( ) 2 , ( ) xxx f x x g x e e = + = +R 1( 0 , ) , ( ) , ( ) 2 l nx f x x g x x xx + = = 三、解答题 :共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .第 1721 题为必考题，每个试题考生都必 须作答 .第 22,23 题为选考题 ,考生根据要求作答 . (一 )必考题 :共 60 分 17. (12 分 )如图 ,在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且满足 asin B +bcos A=c,线段 BC 的中点为 D. (I)求角 B 的大小 ; ( II)已知 10sin .10C= 求 ADB 的大小 . 3 18.(12 分 )如图 ,在直三棱柱 ABC-A1B 1C 1 中 ,AB=BC=AA1 =1, 3AC= ， 点 D,E 分别为 AC 和 B1C 1 的中 点 . (I)棱 AA1 上是否存在点 P 使得平面 PBD 平面 ABE?若存在 ,写出 PA 的长并证明你的结论 ;若不存在 ,请说明理由 . (II)求二面角 A-BE-D 的余弦值 . 19.(12 分 )某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律 ,据统计该地区蜻蜓有 A,B 两种 ,且这两种的 个体数量大致相等 .记 A 种蜻蜓和 B 种蜻蜓的翼长 (单位 :mm)分别为随机变量 X,Y,其中 X 服从正态分布 N(45,25),Y 服从正态分布 N(55,25). ( )从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只 ,求这只蜻蜓的翼长在区间 45,55的概率 ; ( )记该地区蜻蜓的翼长为随机变量 Z,若用正态分布 N(0 ,0 2)来近似描述 Z 的分布 ,请你根据 ( )中的 结果 ,求参数 0 和 0 的值 (精确到 0.1); ( )在 ( )的条件下 ,从该 地区的蜻蜓中随机捕捉 3只 ,记这 3只中翼长在区间 42.2,57.8的个数为 W,求 W 的分布列及数学期望 (分布列写出计算表达式即可 ). 注 :若 X N(,2 ),则 P(-0.64X 0.64)0.4773,P(-X )0.6827,P(-2X+2)0.9546. 20.(12 分 )已知圆 O1 :(x+1)2 +y2 =8 上有 一动点 Q,点 O2 的坐标为 (1,0),四边形 QO1O2R 为平行四边形 .线段 O1R 的垂直平分线交 O2 R 于点 P. ( )求点 P 的轨迹 C 的方程 ; (II)过点 O2 作直线与曲线 C 交于 A,B 两点 ,点 K 的坐标为 (2,1),直线 KA,KB 与 y 轴分别交于 M,N 两点 , 求证 :线段 MN 的中点为定点 ,并求出 KMN 面积的最大值 . 4 21.(12 分 )已知 a0,函数 2( ) ln ( 1 ) .2xf x x x a x= + (I)若 f(x)在区间 ( , ) 2a+ 上单调递增 ,求 a 的值 ; ( )若 a Z,f(x)0 恒成立 ,求 a 的最大值 . (参考数据 : 12 1.6)e (二 )选考题 :共 10 分 .请考生在第 22,23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 . 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 (10 分 ) 在直角坐 标系 xOy 中 ,直线 l1 的参数方程为 cos sin xt yt = = ， (t 为参数 ),直线 l2 的参数方程为 tc os 2 sin 2 x yt = = ,(t 为参数 ).以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C 的极坐标方程为 2sin cos = . (I)求 12,ll 的极坐标方程和 C 的直角坐标方程 ; ( )设 12,ll 分别交 C 于 A,B 两点 (与原点 O 不重合 ),求 |OA|OB|的最小值 . 23.选修 4-5:不等式选讲 (10 分 ) 已知 f(x)=|x-al |x+b|(a0,b0) ( )当 a=b=1 时 ,解不等式 f(x)8-x2 ( )若 f(x)的最小值为 1,求 1112ab+ 的最小值 .