东莞市2020届高三线上教学摸底自测（理数）.doc

1 东莞市 2020 届高三数学（理科）线上教学摸底自测 说明： 本自测题共 16 题，分为两个部分，第一部分（ 1-12 题），第二部分（ 13-16 题），均为单项选择题。 其中，第 1 小题 5 分，其余 15 小题每题 3 分，满分 50 分，测试时间 40 分钟。 第一部分（ 1-12 题） 1. 已知集合 2 | 4 0 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 A x x B ，则 AB （ ） A. 2, 1,0,1,2 B. 0,1,2 C. 1,0,1 D. 0,1 2. 设 2 1 i x yii （ ,x y Ri 为虚数单位），则 |x yi（ ） A.1 B. 12 C. 2 D. 22 3. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. 21yx B. 33yx C. 1yxx D. y xx 4. 若等比数列 na 满足 1 9nnnaa ，则其公比为（ ） A 9 B. 9 C. 92 D 92 5. 生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 2 只，则 恰有 1 只测量过该指标的概率为 A 23 B 35 C 25 D 15 6. 某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高 .2018 年全年总收入与 2017 年全年总收入相比 增长了一倍，实现翻番 .同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化 .下图给出 了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ） A该企业 2018 年原材料费用是 2017 年工资金额与研发费用的和 B该企业 2018 年 研发费用是 2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和 2 C该企业 2018 年其它费用是 2017 年工资金额的 14 D该企业 2018 年设备费用是 2017 年原材料的费用的两倍 7. 若 tan 2 ,则 cos( 2 )2 （ ） A.25 或 25 B.25 C. 45 或 45 D. 45 8. 设 12,FF为椭圆 22: + 1 95xyC 的两个焦点 , M 为 C 上一点且在第二象限，若 12MFF 为等腰三 角形，则 12MFF 的面积为（ ） A. 152 B. 23 C. 3 D. 15 9. 已知函数 sin ( 0)y ax b a 的图象如图所示，则函数 log ( )ay x b的图象可能（ ） A. B. C. D. 10. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面 切割圆锥得到圆锥曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置 (两圆锥的 轴重合 )，已知两个圆锥的底面半径均为 1，母线长均为 3，记过圆锥轴的平面 ABCD 为平面 ( 与两个圆 锥侧面的交线为 ,ACBD )，用平行于 的平面截圆 锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线 的一部分，且双曲线 的两条渐近 线分别平行于 ,ACBD ，则双曲线 的离心率为（ ） A. 324 B. 233 C. 2 D.22 11. 已知 ( ) sin 3 c o sf x x x，且直线 12,x x x x分别为 ()y f x 与 ( ) siny f x x的对称 轴，则 12f x x 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 1 3 12. 已知三棱柱 1 1 1ABC ABC 内接于一个半径为 3 的球，四边形 11AACC 与 11BBCC 为两个全等 的矩形， M 是 11AB 的中点，且 1 1 112C M AB ，则三棱柱 1 1 1ABC ABC 体积的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 4 D. 43 第二部分（ 13-16 题） 13. 已知 50,( )aaxx的展开式中 x 的系数是 160,那么 a （ ） A.16 B.8 C.4 D.2 14. 如图，正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点，若 ,AC AM AB则 （ ） A 1 B 1 C. 3 D 3 15甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇 数时甲得 1 分，否则乙得 1 分，先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌，并结束游戏比赛开始 后，甲积 2 分，乙积 1 分，这 时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对 这 12 张游戏牌的分配合理的是（ ） A甲 10 张，乙 2 张 B.甲 9 张，乙 3 张 C. 甲 8 张，乙 4 张 D.甲 6 张，乙 6 张 16. 在 ABC 中， 8, 4AB AC BC ,D 为 BC 的中点，当 AD 长度最小时， ABC 的面积为 （ ） A. 22 B. 4 C. 42 D. 43 4 2020 届高三数学（理科）线上教学摸底自测参考答案及解析 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答 案 C C D A B B D D C A B C C A B D 1.【解析】由 2 40x ，得 22 x ，又 2, 1, 0,1, 2 B ，由集合的交集运算，得 1, 0,1.AB 故选 C 2.【解析】 2 2 (1 ) 11 (1 ) (1 )i i i i x y ii i i ， 1xy， 1x yi i 22(1) ( 1) 2 故 选 C 3.【解析】因为 函数 21yx为偶函数，所以选项 A 不合题意； 当 x 增大时，函数 33yx 为减函数，所以选项 B 不合题意； 函数 1yxx 在定义域内不单调，所以选项 C 不合题意； 函数 y xx 为奇函数，且 2 2 ,0,0 xxy x x xx ，因为 2yx 在 0, ) 上单调递增， 2yx 在 ( ,0) 上单调递增，且 2yx 与 2yx 在 0 x 处函数值都为 0 ，所以 y xx 在定义域内是增函 数 .故选 D. 4.【解析】设等比数列 na 公比为 q ，又等比数列 na 满足 1 9nnnaa ， 1129nnnaa 12 1 9 nn nn aa qaa .故选 A. 5.【解析】由题得恰有 1 只测量过该指标的概率为 1132 25 6310 5CCC .故选 B. 6.【解析】由折线图可知：不妨设 2017 年全年的收入为 t，则 2018 年全年的收入为 2t. 对于选项 A，该企业 2018 年原材料费用为 0.32t 0.6t， 2017 年工资金额与研发费用的和为 0.2t+0.1t 0.3t，故 A 错误； 对于选项 B，该企业 2018 年研发费用为 0.252t 0.5t， 2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三 项的和为 0.2t+0.15t+0.15t 0.5t，故 B 正确； 对于选项 C，该企业 2018 年其它费用是 0.052t 0.1t， 2017 年原工资金额是 0.2t，故 C 错误； 对于选项 D，该企业 2018 年设备费用是 0.22t 0.4t， 2017 年原材料的费用是 0.15t，故 D 错误 .故 选 B 7.【解析】 2 2 22 si n c os 2 ta n 4c os( 2 ) si n 22 si n c os ta n 1 5 .故选 D. 5 8. 【 解 析 】 设 1F 为 左 焦 点 ， 分 析 可 知 22 2 1 2 2 2 9 5 4M F F F a b ， 1 24MF a 2 3 4 2 ， 12 221 2 4 1 152M F FS .故选 D. 9.【解析】由函数 sin ( 0 )y ax b a 的图象可得 20 1, 2 3b a ， 2 13 a ，故函数 log ( )ay x b是定义域内的减函数 ,且过定点 (1 ,0)b .结合所给的图像可知只有 C 选项符合题意 . 故选 C. 10.【解析】 设与平面 平行的平面为 ，以 ,ACBD 的交点在平面 内的射影为坐标原点，两圆 锥的轴在平面 内的射影为 x 轴，在平面 内与 x 轴垂直的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 根据题意可设双曲线 22 22: 1 ( 0 , 0 ) xy abab 由题意可得双曲线 的渐近线方程为 2 4yx ， 由 2 4ba ，得离心率 2 2 2 22 321 4 c a b be a a a .故选 A. 11.【解析】 ( ) s in 3 c o s 2 s in 3f x x x x ， ( ) s in 3 c o s y f x x x 因为直线 12,x x x x分别为 ()y f x 与 ( ) siny f x x的对称轴， 所以 1 1 1 2 2 2, , ,6x k k Z x k k Z ， 所以 1 2 1 22 s i 2n2 f x x k k .故选 B. 12. 【解析】因为 四边形 11AACC 与 11BBCC 为两个全等的矩形 ，所以 AC BC , 1CC AC , 1CC BC ，又因为 ,A C B C C A C B C 平面 ABC ，所以 1CC 平 面 ABC ； 因为 M 是 11AB 的中点 ,且 1 1 112C M AB ，所以底面 1 1 1ABC 是直角三角形； 综上，三棱柱 1 1 1ABC ABC 是底面为等腰三角形的直棱柱 . 设 1,AC BC a CC b ，将三棱柱还原为长方体，得其外接球直径为 2 2 2 23a a b ，即 222 12ab； 6 所以三棱柱的体积 2 2 3 1 1 1 1( 12 ) ( 12 ) , ( 0 , 2 3 )2 4 4ABCV S CC a b b b b b b ； 记 31( ) ( 12 )4f b b b ，则 213( ) ( 3 12 ) ( 2) ( 2)44f b b b b ， 当 ( ) 0fb 时， 02b ；当 ( ) 0fb 时， 2 2 3b ； 所以 ()fb在 (0,2) 上单调递增， (2,2 3) 上单调递减，故 m ax( ) (2) 4f b f.故选 C. 13.【解析】 5()ax x 的展开式通项为 5 1 5 21 5 5( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) k k k k k kkT C x a x a C x k，令 5 2 1k ，得 2k ，所以由已知得 2 2 25 10 160a C a ，所以 2 16a ， 又 0,a 所以 4a .故 选 C. 14.【解析】 由 M 为 BC 的中点 ,得 1 ()2AM AC AB（三角形中线结论）；故 2AC AM AB， 所以 2, 1 ，即 1.故选 A. 15.【解析】 由题意知 ,继续比赛下去，甲获胜的概率为 1 1 1 3+= 2 2 2 4 ，乙获胜的概率为 1 1 1=2 2 4 ，所 以甲应分得 312 94张牌，乙应分得 112 34张牌，故选 B 16.【解析】 在 ABC 中，设 , , , , 则 A B x A C y A D m A D B A D C 在 ABD 中，由余弦定理得： 224 4 c o s m m x（ 1）， 在 ACD 中，由余弦定理得： 4 4 c o s ( ) m m y， 即 224 4 c o s m m y（ 2）， 由（ 1）（ 2）得： 2 2 228 m x y，又 8xy， 所以 2 2 2 22 8 ( 8 ) 2 1 6 6 4m y y y y ， 所以 228 28m y y ， 所以当 4y 时， m 的最小值为 23， 即 AD 长度的最小值为 23，此时 4AB AC BC ， ABC 是等边三角形，易得其面积为 43. 故选 D. 【另解】由 4 , 8BC AB AC ，则点 A 在以 ,BC为焦点，焦距 24c ，长轴长 28a 的椭圆 上运动，易知当点 A 运动到短轴端点时， AD 最短为 23b ，此时 AD BC ， 11 4 2 3 4 322ABCS B C A D .故选 D.