安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试（文数答案）.pdf

数学（文）参考答案第1页（共4页）安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试文科数学参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分）选项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A D C B B A C D D A C二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分）13. 120 14. , 6 2 15. 32 16. 63三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 60 分。17.（ 12 分）【解析】（ 1）由已知 1 *2 3 3 3( )nn nS a n N 2n 时， 1 12 3 3 3nn nS a 得： 1 12 3 3 2 3 3 2 3n nn n n n na a a a a ，故 1 11 12 23 3 3 3n n n nn n n na a a a ，即 1 2 ( 2)n nb b n ，又 1n 时， 1 1 12 3 9 3 6a a a ，则 11 23ab 故数列 nb 是以 2为首项， 2为公差的等差数列， 2 2( 1) 2 2 3nn nb n n a n . （ 6 分）（ 2）由 3n nn na ac n ，得 2 3 2nnc n 2 1 23(1 3 ) (1 )2 (3 3 3 ) 2(1 2 ) 2 2 3 31 3 2nn nn n nT n n n . （ 12 分）18.（ 12 分）【解析】（ 1） 3x ， 21y ， 5 21 55ii x ，故 515 22 2 1 340.6 5 3 21 2.5655 5 3i ii ii x y nx yb x nx ， 21 2.56 3 13.32a y bx ，故 2.56 13.32y x . （ 8 分）（ 2） 6x 时， 28.68y ， 7x 时， 31.24y ，故应从第 7 周开始 . （ 12 分）19.（ 12 分）【解析】（ 1）由题： PA PB ， BC 平面 PAB BC PA 又 PB BC B ，故 PA平面 PBC . （ 4 分）数学（文）参考答案第2页（共4页）（ 2）取 AB 的中点 O，连接 ,OP OD ，因为 ,PAB DAB 均为等腰三角形故 ,PO AB DO AB ，又 BC 平面 PAB 平面 PAB 平面 ABCD平面 PAB 平面 ABCD AB ，故 PO 平面 ABCD ， PO DO易求得 1, 2, 2, 1AO BO PA DO PO ，故 5PD / , ,OD BC OD BC DO AB OBCD 为矩形故 1 1 12 2ACDS CD DO OB DO 2 21 2 32 ( 5) ( )2 2 2PADS 在三棱锥 P ACD 中，设顶点 C 到平面 PAD 的距离为 d ，由 C PAD P ACDV V 则 3 212 3d d ，故顶点 C 到平面 PAD 的距离为 23 . （ 12 分）20.（ 12 分）【解析】（ 1） 2( ) 2 (sin cos )x xf x e e x x ， (0) 2f ， (0)f 所以曲线 ( )y f x 在 0 x 处的切线方程为 (2 )y x 将（ 1,6）代入得 2 （ 4 分）（ 2）考虑方程 g( ) 0 x ，等价于 2cos 0 x xe e x ，记 ( ) 2cosx xF x e e x 则 ( ) 2sin 2 2sin 2 2sin 0 x x x xF x e e x e e x x 于是函数 ( )F x 在 R 上单调递增，又 2 2( ) 02F e e ， (0) 2 0F 所以函数 ( )F x 在区间 ( ,0)2 上存在唯一零点，即函数 ( )g x 存在唯一零点（ 12 分）21. （ 12 分）【解析】（ 1）当线段 AF 与抛物线 C 没有公共点，即 94a 时，设抛物线 C 的准线为 l ，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 Q过点 A作 l 的垂线，垂足为 B ，则 | | | | | | | | | | 1PA PF PA PQ AB a 故 1 5 4a a 当线段 AF 与抛物线 C 有公共点，即 94a 时， 2 2| | | | | | ( 1) 3PA PF AF a 故 2 2( 1) 3 5 3a a 综上： 4a 或 3 . （ 5 分）（ 2）解法一：设 2 2 2( ,2 ), ( ,2 ), ( ,2 )P b b M m m N n n （ , , 0, 0, 0b n m n b m n ）由题 , ,P A N 共线， , ,O A M 共线数学（文）参考答案第3页（共4页）当 b n 时， 2 2 22 2 3 2b n bb n a b ， 22 3mm a ，联立得 3( ) 2b m n bn （ *）又 OP MN ，则 2 2 22 2 2b m nb m n 即 b m n 代入（ *）得 3b 当 b n 时，由题： | | | | 2 3 3 3| | | | 3 2 2 3PA OA b bAN AM n m 故 3b ， 22 23MN OP bk k b ，设直线 MN 的方程为 23y x t ， 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y2 22 2 4 12( 3) 9 034y x t x t x ty x ， 21 2 1 2 93(3 ), 4tx x t x x 2 2 2 2 21 2 1 2 2| | 1 ( ) 4 1 ( ) 9(3 ) 9 13 9 6 5 133MN k x x x x t t t 解得： 83t ，故直线 MN 的方程为 2 83 3y x 即 2 3 8 0 x y . （ 12 分）解法二：设 0 0 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )P x y M x y N x y ，则 0 0200 044OP y yk yx y ，1 2 1 22 21 21 2 1 244 4MN y y y yk y yx x y y ， MN OPk k ， 0 1 2y y y ，即 0 1 22 2y y y即线段 OP 与 MN 的中点纵坐标相同，故 OP 中点与 MN 中点连线平行于 x轴由平面几何知识知：点 A在 OP 与 MN 中点连线上，故 0 03 62y y 于是 200 94yx ， 00 23MN OP yk k x ，设直线 MN 的方程为 23y x t ，后同解法一 .（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程（ 10 分）【解析】（ 1）曲线 2C 的方程化成直角坐标方程为 2 2 8x y y 即 2 2( 4) 16x y 圆心 2(0,4)C ，半径 4r ，曲线 1C 为过定点 (2,2)P 的直线，易知 (2,2)P 在圆 2C 内当 2PC AB 时，线段 AB 长最小，最小值为 2 2 2 222 | | 2 16 (2 0) (2 4) 4 2r PC . （ 5 分）（ 2）当点 M 与点 P 不重合时，设 ( , )M x y ， 2C M PM 2 ( 2) ( 4)( 4) 0C M PM x x y y ，化简得： 2 2( 1) ( 3) 2x y 当点 M 与点 P 重合时，也满足上式，故点 M 的轨迹方程为： 2 2( 1) ( 3) 2x y . （ 10 分）数学（文）参考答案第4页（共4页） 23 选修 45：不等式选讲（ 10 分）【解析】（ 1） 3 3 2 2 2 2(2 2 ) ( )( ) 2 ( )a b a b ab a b a ab b ab a b 2 2( )( )a b a ab b 2 23( )( ) 2 4ba b a b a b ， 0a b ，又 2 23( ) 02 4ba b ， 3 3 2 22 2a b a b ab . （ 5 分）（ 2） 2 2 1 1( )b aa b a b ，即 3 32 2b a b aa b ab ，即 2 22 2b ab aa b ab （ *）当 0ab 时，（ *）即 2 2 1b ab a b aab a b 恒成立， 2 2b a b aa b a b （当且仅当 a b 时取等号），故 3 当 0ab 时，（ *）即 2 2 1b ab a b aab a b 恒成立， ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2b a b a b aa b a b a b （当且仅当 a b 时取等号），故 1 综上， 1,3 . （ 10 分）